Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x - 2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 1.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 1.1.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 1.1.3.5.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez si la dérivée est continue sur $[4, 7]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[4, 7]$ ou non, déterminez le domaine de $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.1.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.1.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2}$

Étape 2.2

$f' (x)$ est continu sur $[4, 7]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

La fonction est différentiable sur $[4, 7]$ car la dérivée est continue sur $[4, 7]$ .

La fonction est différentiable.

Étape 4