Calcul infinitésimal Exemples

$\sec^{2} (x)$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \sec^{2} (x + h)$

Étape 2.1.2

La réponse finale est $\sec^{2} (x + h)$ .

$\sec^{2} (x + h)$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \sec^{2} (x + h)$

$f (x) = \sec^{2} (x)$

$f (x + h) = \sec^{2} (x + h)$

$f (x) = \sec^{2} (x)$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) - (\sec^{2} (x))}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)})}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{h}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{h}$

Étape 4.2.1.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - \sec^{2} (x)}{h}$

Étape 4.2.1.4

Pour écrire $- \sec^{2} (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - \sec^{2} (x) \cdot \frac{\cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Étape 4.2.1.5

Associez $- \sec^{2} (x)$ et $\frac{\cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} + \frac{- \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Étape 4.2.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Étape 4.2.1.7

Réécrivez $\frac{1 - \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.1.7.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2} - \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Étape 4.2.1.7.2

Réécrivez $\sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)$ comme ${(\sec (x) \cos (x + h))}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2} - {(\sec (x) \cos (x + h))}^{2}}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Étape 4.2.1.7.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \sec (x) \cos (x + h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Étape 4.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.2.3

Associez.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \cdot 1}{\cos^{2} (x + h) h}$

Étape 4.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $1 + \sec (x) \cos (x + h)$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h) h}$

Étape 4.2.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h) h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} (1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1 + \sec (x) \cos (x + h) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{(lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{(1 + lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.4

Placez le terme $\sec (x)$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{(1 + \sec (x) lim_{h \to 0} \cos (x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.7

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.10

Placez le terme $\sec (x)$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) lim_{h \to 0} \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.13

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.14

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 5.1.2.14.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + 0)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.14.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + 0)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.15

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.15.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.15.2

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.15.2.1

Réécrivez $\sec (x) \cos (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.15.2.2

Annulez les facteurs communs.

$\frac{(1 + 1) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.15.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.15.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{2 \cdot (1 - \sec (x) \cos (x))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.15.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.15.5.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.15.5.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{2 \cdot (1 - (\sec (x) \cos (x)))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.15.5.1.2

Réécrivez $- \sec (x) \cos (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \cdot (1 - (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.15.5.1.3

Annulez les facteurs communs.

$\frac{2 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.15.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 \cdot (1 - 1)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.15.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.2.15.7

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x + h)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot {(lim_{h \to 0} \cos (x + h))}^{2}}$

Étape 5.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + h)}$

Étape 5.1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}$

Étape 5.1.3.5

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Étape 5.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 5.1.3.6.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Étape 5.1.3.6.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos^{2} (x + 0)}$

Étape 5.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.3.7.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos^{2} (x)}$

Étape 5.1.3.7.2

Multipliez $0$ par $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.7.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{h \cos^{2} (x + h)} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ est $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ où $f (h) = 1 + \sec (x) \cos (x + h)$ et $g (h) = 1 - \sec (x) \cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 - \sec (x) \cos (x + h)] + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sec (x) \cos (x + h)$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $1$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (0 + \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)] + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.6

Comme $- \sec (x)$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- \sec (x) \cos (x + h)$ par rapport à $h$ est $- \sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = \cos (h)$ et $g (h) = x + h$ .

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Étape 5.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.7.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 \sec (x) (\sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.9

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (\sec (x) (\sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.11

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.12

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) \frac{d}{d h} [h] + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) \cdot 1 + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.14

Multipliez $1 + \sec (x) \cos (x + h)$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sec (x) \cos (x + h)$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.16

Comme $1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $1$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) (0 + \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.17

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.18

Comme $\sec (x)$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $\sec (x) \cos (x + h)$ par rapport à $h$ est $\sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) (\sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.19

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = \cos (h)$ et $g (h) = x + h$ .

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Étape 5.3.19.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d h} [x + h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.19.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d h} [x + h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.19.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.20

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.21

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.22

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.23

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) \cdot 1)}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.24

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25

Simplifiez

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Étape 5.3.25.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{(1 \sec (x) + \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{(1 \sec (x) + \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.25.3.1

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.3.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.3.3

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.3.6

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.3.7

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x)) \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.3.8

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 1} \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.3.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.25.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.25.5.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.1.5

Associez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ et $\cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.2

Pour écrire $\frac{1}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos^{2} (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.25.5.3.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.3.2

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 5.3.25.5.3.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.3.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.3.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) \frac{\cos (x) + \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.5

Associez $\sin (x + h)$ et $\frac{\cos (x) + \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.25.5.6.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.6.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.6.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.6.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.6.5

Associez $\cos (x + h)$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.7

Pour écrire $\frac{1}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos^{2} (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.25.5.8.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.8.2

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 5.3.25.5.8.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.8.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.8.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.8.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) \frac{\cos (x) - \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.5.10

Associez $\frac{\cos (x) - \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}$ et $\sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \frac{(\cos (x) - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h)) - (\cos (x) - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.25.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) - (\cos (x) - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) + (- \cos (x) - - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.7.3

Multipliez $- - \cos (x + h)$ .

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Étape 5.3.25.7.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) + (- \cos (x) + 1 \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.7.3.2

Multipliez $\cos (x + h)$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) + (- \cos (x) + \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) - \cos (x) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.8

Associez les termes opposés dans $\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) - \cos (x) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)$ .

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Étape 5.3.25.8.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sin (x + h) \cos (x)$ et $- \cos (x) \sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \sin (x + h) + \sin (x + h) \cos (x + h) - \cos (x) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.8.2

Soustrayez $\cos (x) \sin (x + h)$ de $\cos (x) \sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x + h) + 0 + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.8.3

Additionnez $\sin (x + h) \cos (x + h)$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.9

Réorganisez les facteurs de $\sin (x + h) \cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\cos (x + h) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.10

Additionnez $\cos (x + h) \sin (x + h)$ et $\cos (x + h) \sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.11

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x + h)$ et $\sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (2 \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.12

Remettez dans l’ordre $\sin (x + h)$ et $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot \sin (x + h) \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.13

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 (x + h))}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.25.14

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Étape 5.3.26

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ est $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ où $f (h) = h$ et $g (h) = \cos^{2} (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h \frac{d}{d h} [\cos^{2} (x + h)] + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.27

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = h^{2}$ et $g (h) = \cos (x + h)$ .

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Étape 5.3.27.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.27.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 u_{1} \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.27.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.28

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = \cos (h)$ et $g (h) = x + h$ .

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Étape 5.3.28.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.28.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.28.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.29

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) (\sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.30

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.31

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.32

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) \frac{d}{d h} [h]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.33

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) \cdot 1) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.34

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h)) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.35

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h)) + \cos^{2} (x + h) \cdot 1}$

Étape 5.3.36

Multipliez $\cos^{2} (x + h)$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h)) + \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.3.37

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{1}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x) (- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h))}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Placez le terme $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} lim_{h \to 0} \frac{\sin (2 x + 2 h)}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{lim_{h \to 0} \sin (2 x + 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (lim_{h \to 0} 2 x + 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.5

Évaluez la limite de $2 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- lim_{h \to 0} 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cos (x + h) \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.9

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} \cos (x + h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (lim_{h \to 0} x + h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.12

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.13

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.15

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Étape 6.16

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x + h)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + {(lim_{h \to 0} \cos (x + h))}^{2}}$

Étape 6.17

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + h)}$

Étape 6.18

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}$

Étape 6.19

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Étape 7.4

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Étape 7.5

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Étape 8.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Étape 8.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x + 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Étape 8.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Étape 8.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.5.1

Factorisez $\cos (x + 0)$ à partir de $- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)$ .

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Étape 8.5.1.1

Factorisez $\cos (x + 0)$ à partir de $- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0)) + \cos^{2} (x + 0)}$

Étape 8.5.1.2

Factorisez $\cos (x + 0)$ à partir de $\cos^{2} (x + 0)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0)) + \cos (x + 0) \cos (x + 0)}$

Étape 8.5.1.3

Factorisez $\cos (x + 0)$ à partir de $\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0)) + \cos (x + 0) \cos (x + 0)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0) + \cos (x + 0))}$

Étape 8.5.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 \cdot \sin (x + 0) + \cos (x + 0))}$

Étape 8.5.3

Additionnez $x$ et $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 \cdot \sin (x) + \cos (x + 0))}$

Étape 8.5.4

Multipliez $0$ par $\sin (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 + \cos (x + 0))}$

Étape 8.5.5

Additionnez $x$ et $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 + \cos (x))}$

Étape 8.5.6

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) \cos (x)}$

Étape 8.5.7

Additionnez $x$ et $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 8.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.6.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Étape 8.6.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Étape 8.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Étape 8.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.7

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sec^{2} (x) \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.8

Annulez le facteur commun à $\cos (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 8.8.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Étape 8.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.8.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 8.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sec^{2} (x) \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 8.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sec^{2} (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 8.9

Séparez les fractions.

$\sec^{2} (x) (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 8.10

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\frac{2}{1} \tan (x))$

Étape 8.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 8.12

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 9