Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

Étape 2.1.2

La réponse finale est $\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ .

$\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

$f (x) = \frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

$f (x) = \frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})}{h}$

Étape 4

Associez des termes.

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Étape 4.1

Pour écrire $\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{x}}{e^{x}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})}{h}$

Étape 4.2

Pour écrire $- (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

Étape 4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $e^{x + h} e^{x}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ par $\frac{e^{x}}{e^{x}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{x + h} e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

Étape 4.3.2

Multipliez $e^{x + h}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{x + h + x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{\sinh (x)}{e^{x}}$ par $\frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{x} e^{h + x}}}{h}$

Étape 4.3.4

Multipliez $e^{x}$ par $e^{h + x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{x + h + x}}}{h}$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}}{h}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}}{h}$

Étape 5

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}$ par $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x} h}$

Étape 6

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 6.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} \sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Étape 6.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 6.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sinh (x + h) e^{x} - lim_{h \to 0} \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Étape 6.1.2.2

Placez le terme $e^{x}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - lim_{h \to 0} \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Étape 6.1.2.3

Placez le terme $\sinh (x)$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) lim_{h \to 0} e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Étape 6.1.2.4

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Étape 6.1.2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Étape 6.1.2.6

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Étape 6.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 6.1.2.7.1

Évaluez la limite de $\sinh (x + h)$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x + 0) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Étape 6.1.2.7.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Étape 6.1.2.7.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Étape 6.1.2.8

Associez les termes opposés dans $e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}$ .

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Étape 6.1.2.8.1

Additionnez $0$ et $x$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Étape 6.1.2.8.2

Réorganisez les facteurs dans les termes $e^{x} \sinh (x)$ et $- \sinh (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \sinh (x) - e^{x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Étape 6.1.2.8.3

Soustrayez $e^{x} \sinh (x)$ de $e^{x} \sinh (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

Étape 6.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Étape 6.1.3.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Étape 6.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Étape 6.1.3.4

Évaluez la limite de $2 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Étape 6.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 6.1.3.5.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{e^{0 + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Étape 6.1.3.5.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{e^{0 + 2 x} \cdot 0}$

Étape 6.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1.3.6.1

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$\frac{0}{e^{2 x} \cdot 0}$

Étape 6.1.3.6.2

Multipliez $e^{2 x}$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 6.1.3.6.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 6.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 6.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 6.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}]$ .

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Étape 6.3.3.1

Comme $e^{x}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $\sinh (x + h) e^{x}$ par rapport à $h$ est $e^{x} \frac{d}{d h} [\sinh (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \frac{d}{d h} [\sinh (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = \sinh (h)$ et $g (h) = x + h$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.3.2.2

La dérivée de $\sinh (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cosh (u_{1})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.3.4

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.3.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.3.7

Multipliez $\cosh (x + h)$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.4

Évaluez $\frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]$ .

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Étape 6.3.4.1

Comme $- \sinh (x)$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- \sinh (x) e^{h + x}$ par rapport à $h$ est $- \sinh (x) \frac{d}{d h} [e^{h + x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) \frac{d}{d h} [e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = e^{h}$ et $g (h) = h + x$ .

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Étape 6.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $h + x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $h + x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $h + x$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [x]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [x]))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (1 + \frac{d}{d h} [x]))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.4.5

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (1 + 0))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.4.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} \cdot 1)}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.4.7

Multipliez $e^{h + x}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{h + x}}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

Étape 6.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ est $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ où $f (h) = e^{h + 2 x}$ et $g (h) = h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

Étape 6.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

Étape 6.3.8

Multipliez $e^{h + 2 x}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

Étape 6.3.9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = e^{h}$ et $g (h) = h + 2 x$ .

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Étape 6.3.9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $h + 2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

Étape 6.3.9.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{u} \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

Étape 6.3.9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $h + 2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

Étape 6.3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $h + 2 x$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [2 x]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [2 x]))}$

Étape 6.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (1 + \frac{d}{d h} [2 x]))}$

Étape 6.3.12

Comme $2 x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (1 + 0))}$

Étape 6.3.13

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} \cdot 1)}$

Étape 6.3.14

Multipliez $e^{h + 2 x}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h e^{h + 2 x}}$

Étape 6.3.15

Simplifiez

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Étape 6.3.15.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} h + e^{h + 2 x}}$

Étape 6.3.15.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{h + 2 x} h + e^{h + 2 x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Étape 7.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x} \cosh (x + h) - lim_{h \to 0} e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Étape 7.3

Placez le terme $e^{x}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - lim_{h \to 0} e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Étape 7.4

Placez le terme $\sinh (x)$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) lim_{h \to 0} e^{h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Étape 7.5

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Étape 7.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Étape 7.7

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

Étape 7.8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Étape 7.9

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Étape 7.10

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Étape 7.11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Étape 7.12

Évaluez la limite de $2 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

Étape 7.13

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Étape 7.14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x}}$

Étape 7.15

Évaluez la limite de $2 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $\cosh (x + h)$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x + 0) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Étape 8.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Étape 8.4

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Étape 8.5

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

Étape 8.6

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Additionnez $0$ et $x$ .

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Étape 9.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{x}$ .

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Étape 9.1.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} \cosh (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x)) - \sinh (x) e^{x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Étape 9.1.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- \sinh (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x)) + e^{x} (- \sinh (x))}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Étape 9.1.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (\cosh (x)) + e^{x} (- \sinh (x))$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 \cdot e^{2 x} + e^{0 + 2 x}}$

Étape 9.2.2

Multipliez $0$ par $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 + e^{0 + 2 x}}$

Étape 9.2.3

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 + e^{2 x}}$

Étape 9.2.4

Additionnez $0$ et $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{e^{2 x}}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x}}$

Étape 9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{1}$

Étape 9.3.2.4

Divisez $e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))$ par $1$ .

$e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))$

Étape 9.4

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- x} \cosh (x) + e^{- x} (- \sinh (x))$

Étape 9.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \cosh (x) - e^{- x} \sinh (x)$

Étape 10