Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{(x + h) + 3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ .

$\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} - (\frac{2 x}{x + 3})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{2 x}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h + 3) (x + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{2 x}{x + 3}$ par $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h + 3) (x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (x + h) (x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x (x + h + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Développez $(x + h) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x (x + 3) + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 \cdot x + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x \cdot x - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.5.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.5.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h + 0 - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Additionnez $h x + 3 h - x h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Soustrayez $x h$ de $h x$ .

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Étape 4.1.5.10.1

Remettez dans l’ordre $h$ et $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + x h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.10.2

Soustrayez $x h$ de $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Additionnez $3 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot (3 h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.1.5.12

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $h$ à partir de $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $\frac{6}{x + 3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{6}{x + 3} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 3}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

Étape 5.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

Étape 5.6

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 3}$

Étape 6

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 0 + 3}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{6}{x + 3}$ par $\frac{1}{x + 3}$ .

$\frac{6}{(x + 3) (x + 3)}$

Étape 7.2.2

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} (x + 3)}$

Étape 7.2.3

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}}$

Étape 7.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1 + 1}}$

Étape 7.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 8