Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

Étape 2.1.2

La réponse finale est $\frac{1}{x + h}$ .

$\frac{1}{x + h}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{1}{x + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x + h}$ par $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Soustrayez $h$ de $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{h}{x (x + h)}$ dans le numérateur.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{x (x + h)}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{x (x + h)}$

Étape 5.2

Placez le terme $\frac{1}{x}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}$

Étape 5.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.6

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}$

Étape 6

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + 0}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 7.2

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{x \cdot x}$

Étape 7.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x}$

Étape 7.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

Étape 7.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{x^{1 + 1}}$

Étape 7.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Étape 8