Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{4 - x^{2}}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{1}{4 - {(x + h)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2^{2} - {(x + h)}^{2}}$

Étape 2.1.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - (x + h))}$

Étape 2.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ .

$\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

$f (x) = \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

$f (x) = \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} - (\frac{1}{(2 + x) (2 - x)})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 + x + h) (2 - x - h) (2 + x) (2 - x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ par $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ par $\frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))}}{h}$

Étape 4.1.3.4

Réorganisez les facteurs de $(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.5.1

Développez $(2 + x) (2 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (2 - x) + x (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - x \cdot x - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 + 0 - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} + (- 1 \cdot 2 - x - h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} + (- 2 - x - h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Développez $(- 2 - x - h) (2 - x - h)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 2 \cdot 2 - 2 (- x) - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.6.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 - 2 (- x) - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.6.6.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + 1 x^{2} - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.8

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} - 1 \cdot (- 1 x h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + 1 x h - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.11

Multipliez $x$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h - 1 \cdot (- 1 h x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + 1 h x - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.15

Multipliez $h$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.16

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.17

Multipliez $h$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.6.17.1

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.17.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.18

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + 1 h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.6.19

Multipliez $h^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Associez les termes opposés dans $- 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}$ .

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Étape 4.1.5.7.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 h + 0 + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.7.2

Additionnez $- 4 + 2 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 h + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.7.3

Soustrayez $2 h$ de $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + 0 + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.7.4

Additionnez $- 4 + x^{2} + x h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 4.1.5.8.1

Remettez dans l’ordre $h$ et $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.8.2

Additionnez $x h$ et $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} + 0 + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.12

Additionnez $0$ et $2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.13

Factorisez $h$ à partir de $2 x h + h^{2}$ .

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Étape 4.1.5.13.1

Factorisez $h$ à partir de $2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.13.2

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.1.5.13.3

Factorisez $h$ à partir de $h (2 x) + h (h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}$

Étape 5

Placez le terme $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

Étape 8

Évaluez la limite de $2 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} 2 + x + h \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

Étape 11

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

Étape 12

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

Étape 13

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (lim_{h \to 0} 2 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h)}$

Étape 14

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h)}$

Étape 15

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

Étape 16

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 16.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

Étape 16.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

Étape 16.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x + 0)}$

Étape 17

Simplifiez la réponse.

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Étape 17.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x + 0)}$

Étape 17.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 17.2.1

Additionnez $2 + x$ et $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x + 0)}$

Étape 17.2.2

Additionnez $2 - x$ et $0$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$

Étape 17.3

Multipliez $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$ .

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Étape 17.3.1

Multipliez $\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ par $\frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$\frac{2 x}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x))}$

Étape 17.3.2

Élevez $2 + x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1} (2 + x) (2 - x) (2 - x)}$

Étape 17.3.3

Élevez $2 + x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1} {(2 + x)}^{1} (2 - x) (2 - x)}$

Étape 17.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1 + 1} (2 - x) (2 - x)}$

Étape 17.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} (2 - x) (2 - x)}$

Étape 17.3.6

Élevez $2 - x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} ({(2 - x)}^{1} (2 - x))}$

Étape 17.3.7

Élevez $2 - x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} ({(2 - x)}^{1} {(2 - x)}^{1})}$

Étape 17.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{1 + 1}}$

Étape 17.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Étape 18