Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1.3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (x^{2} h)) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (x^{2} h)) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.2.1.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 (x h^{2})) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 (x h^{2})) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.3.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $h^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.4

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - ((x + h) (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.5

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x (x + h) + h (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.6.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.6.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.6.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.6.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $h$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $h^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

Étape 2.2.3

Déplacez $- 4 x$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Étape 2.2.4

Déplacez $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - 2 h x - h^{2} - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Étape 2.2.5

Déplacez $- 2 h x$ .

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Étape 2.2.6

Déplacez $\frac{x^{3}}{3}$ .

$h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Étape 2.2.7

Déplacez $h x^{2}$ .

$h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Étape 2.2.8

Remettez dans l’ordre $h^{2} x$ et $\frac{h^{3}}{3}$ .

$\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - (\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- - x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 1 x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $\frac{x^{3}}{3}$ de $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 0 + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $\frac{h^{3}}{3}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 0 + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $\frac{h^{3}}{3}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

Étape 4.1.7

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + 0 + \frac{32}{3} - \frac{32}{3}}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $\frac{h^{3}}{3}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{32}{3} - \frac{32}{3}}{h}$

Étape 4.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{32 - 32}{3}}{h}$

Étape 4.1.10

Soustrayez $32$ de $32$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{0}{3}}{h}$

Étape 4.1.11

Associez les termes opposés dans $\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{0}{3}$ .

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Étape 4.1.11.1

Divisez $0$ par $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + 0}{h}$

Étape 4.1.11.2

Additionnez $\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.12

Pour écrire $h^{2} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x \cdot \frac{3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.13

Associez $h^{2} x$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + \frac{h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3} + h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.15.1

Factorisez $h^{2}$ à partir de $h^{3} + h^{2} x \cdot 3$ .

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Étape 4.1.15.1.1

Factorisez $h^{2}$ à partir de $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} h + h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.15.1.2

Factorisez $h^{2}$ à partir de $h^{2} x \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} h + h^{2} (x \cdot 3)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.15.1.3

Factorisez $h^{2}$ à partir de $h^{2} h + h^{2} (x \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + x \cdot 3)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.15.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.16

Pour écrire $h x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + h x^{2} \cdot \frac{3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.17

Associez $h x^{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + \frac{h x^{2} \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x) + h x^{2} \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.19.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} (h + 3 x) + h x^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.1.19.1.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} (h + 3 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (x^{2}) \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.19.1.2

Factorisez $h$ à partir de $h x^{2} \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.19.1.3

Factorisez $h$ à partir de $h (h (h + 3 x)) + h (x^{2} \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.19.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h) + h (3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.19.3

Multipliez $h$ par $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + h (3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.19.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.19.5

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.20

Pour écrire $- h^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} - h^{2} \cdot \frac{3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.21

Associez $- h^{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} + \frac{- h^{2} \cdot 3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.23.1

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.1.23.1.1

Factorisez $h$ à partir de $- h^{2} \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 3)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.23.1.2

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h \cdot 3)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.23.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

Étape 4.1.24

Pour écrire $- 2 h x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} - 2 h x \cdot \frac{3}{3} - 4 h}{h}$

Étape 4.1.25

Associez $- 2 h x$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} + \frac{- 2 h x \cdot 3}{3} - 4 h}{h}$

Étape 4.1.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) - 2 h x \cdot 3}{3} - 4 h}{h}$

Étape 4.1.27

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.27.1

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) - 2 h x \cdot 3$ .

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Étape 4.1.27.1.1

Factorisez $h$ à partir de $- 2 h x \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 2 x \cdot 3)}{3} - 4 h}{h}$

Étape 4.1.27.1.2

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 2 x \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 2 x \cdot 3)}{3} - 4 h}{h}$

Étape 4.1.27.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} - 4 h}{h}$

Étape 4.1.28

Pour écrire $- 4 h$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} - 4 h \cdot \frac{3}{3}}{h}$

Étape 4.1.29

Associez $- 4 h$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} + \frac{- 4 h \cdot 3}{3}}{h}$

Étape 4.1.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) - 4 h \cdot 3}{3}}{h}$

Étape 4.1.31

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.31.1

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) - 4 h \cdot 3$ .

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Étape 4.1.31.1.1

Factorisez $h$ à partir de $- 4 h \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) + h (- 4 \cdot 3)}{3}}{h}$

Étape 4.1.31.1.2

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) + h (- 4 \cdot 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 4 \cdot 3)}{3}}{h}$

Étape 4.1.31.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12)}{3}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Associez.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3 h}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3 h}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3}$

Étape 4.5

Multipliez $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12}{3}$

Étape 5

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 3 h x + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 h x + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Étape 8

Placez le terme $3 x$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Étape 9

Évaluez la limite de $3 x^{2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Étape 10

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Étape 11

Évaluez la limite de $6 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

Étape 12

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

Étape 13.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} (0 + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Étape 14.1.2

Multipliez $3 x \cdot 0$ .

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Étape 14.1.2.1

Multipliez $0$ par $3$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 x + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Étape 14.1.2.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

Étape 14.1.4

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

Étape 14.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12$ .

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Étape 14.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{3} (0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

Étape 14.2.2

Additionnez $0$ et $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

Étape 14.2.3

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2} - 6 x - 12)$

Étape 14.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Étape 14.4

Simplifiez

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Étape 14.4.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (3 (x^{2})) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Étape 14.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Étape 14.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Étape 14.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x$ .

$x^{2} + \frac{1}{3} (3 (- 2 x)) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Étape 14.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{1}{3} (3 (- 2 x)) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Étape 14.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot - 12$

Étape 14.4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 4))$

Étape 14.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 4)$

Étape 14.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 2 x - 4$

Étape 15