Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = K t^{2}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{f (t + h) - f t}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = t + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $t$ par $t + h$ dans l’expression.

$f (t + h) = K {(t + h)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(t + h)}^{2}$ comme $(t + h) (t + h)$ .

$f (t + h) = K ((t + h) (t + h))$

Étape 2.1.2.2

Développez $(t + h) (t + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (t + h) = K (t (t + h) + h (t + h))$

Étape 2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (t + h) = K (t \cdot t + t h + h (t + h))$

Étape 2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (t + h) = K (t \cdot t + t h + h t + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + t h + h t + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + t h + h t + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $t h$ et $h t$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $t$ et $h$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + h t + h t + h^{2})$

Étape 2.1.2.3.2.2

Additionnez $h t$ et $h t$ .

$f (t + h) = K (t^{2} + 2 h t + h^{2})$

Étape 2.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (t + h) = K t^{2} + K (2 h t) + K h^{2}$

Étape 2.1.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (t + h) = K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$

Étape 2.1.2.6

La réponse finale est $K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$ .

$K t^{2} + 2 K h t + K h^{2}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $K t^{2}$ .

$2 K h t + K h^{2} + K t^{2}$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $2 K h t$ et $K h^{2}$ .

$K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (t + h) = K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

$f (t) = K t^{2}$

$f (t + h) = K h^{2} + 2 K h t + K t^{2}$

$f (t) = K t^{2}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t + K t^{2} - (K t^{2})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $K t^{2}$ de $K t^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t + 0}{h}$

Étape 4.1.2

Additionnez $K h^{2} + 2 K h t$ et $0$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h^{2} + 2 K h t}{h}$

Étape 4.1.3

Factorisez $K h$ à partir de $K h^{2} + 2 K h t$ .

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Étape 4.1.3.1

Factorisez $K h$ à partir de $K h^{2}$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h \cdot h + 2 K h t}{h}$

Étape 4.1.3.2

Factorisez $K h$ à partir de $2 K h t$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h \cdot h + K h (2 t)}{h}$

Étape 4.1.3.3

Factorisez $K h$ à partir de $K h \cdot h + K h (2 t)$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h (h + 2 t)}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (t) = lim_{h \to 0} \frac{K h (h + 2 t)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $K (h + 2 t)$ par $1$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} K (h + 2 t)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (t) = lim_{h \to 0} K h + K (2 t)$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (t) = lim_{h \to 0} K h + 2 K t$

Étape 4.2.3.2

Remettez dans l’ordre $K h$ et $2 K t$ .

$f' (t) = lim_{h \to 0} 2 K t + K h$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 K t + lim_{h \to 0} K h$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $2 K t$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$2 K t + lim_{h \to 0} K h$

Étape 5.3

Placez le terme $K$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$2 K t + K lim_{h \to 0} h$

Étape 6

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$2 K t + K \cdot 0$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Multipliez $K$ par $0$ .

$2 K t + 0$

Étape 7.2

Additionnez $2 K t$ et $0$ .

$2 K t$

Étape 8