Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Étape 2.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Étape 2.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Étape 2.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Étape 2.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Étape 2.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Étape 2.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Étape 2.1.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + (3 x + 3 h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Étape 2.1.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Étape 2.1.2.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 x - 5 h + 2 y$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 x - 5 h + 2 y$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 x - 5 h + 2 y$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $- 5 x$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Étape 2.2.2

Déplacez $3 x y$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 h y + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Étape 2.2.3

Déplacez $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Étape 2.2.4

Remettez dans l’ordre $4 h x$ et $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - (2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - (2 x^{2}) - (3 x y) - (4 y^{2}) - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - (3 x y) - (4 y^{2}) - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - (4 y^{2}) - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - 4 y^{2} - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - 4 y^{2} + 5 x - (2 y)}{h}$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y + 0 - 3 x y - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $2 h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 3 x y - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $3 x y$ de $3 x y$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y + 0 - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $2 h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $4 y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h - 5 x + 2 y + 0 + 5 x - 2 y}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $2 h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h - 5 x + 2 y + 5 x - 2 y}{h}$

Étape 4.1.9

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h + 2 y + 0 - 2 y}{h}$

Étape 4.1.10

Additionnez $2 h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h + 2 y - 2 y}{h}$

Étape 4.1.11

Soustrayez $2 y$ de $2 y$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h + 0}{h}$

Étape 4.1.12

Additionnez $2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h}{h}$

Étape 4.1.13

Factorisez $h$ à partir de $2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h$ .

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Étape 4.1.13.1

Factorisez $h$ à partir de $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + 4 h x + 3 h y - 5 h}{h}$

Étape 4.1.13.2

Factorisez $h$ à partir de $4 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + h (4 x) + 3 h y - 5 h}{h}$

Étape 4.1.13.3

Factorisez $h$ à partir de $3 h y$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + h (4 x) + h (3 y) - 5 h}{h}$

Étape 4.1.13.4

Factorisez $h$ à partir de $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + h (4 x) + h (3 y) + h \cdot - 5}{h}$

Étape 4.1.13.5

Factorisez $h$ à partir de $h (2 h) + h (4 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x) + h (3 y) + h \cdot - 5}{h}$

Étape 4.1.13.6

Factorisez $h$ à partir de $h (2 h + 4 x) + h (3 y)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x + 3 y) + h \cdot - 5}{h}$

Étape 4.1.13.7

Factorisez $h$ à partir de $h (2 h + 4 x + 3 y) + h \cdot - 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x + 3 y - 5)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x + 3 y - 5)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $2 h + 4 x + 3 y - 5$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h + 4 x + 3 y - 5$

Étape 4.2.2

Déplacez $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x + 3 y + 2 h - 5$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 3 y + lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 5$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $4 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$4 x + lim_{h \to 0} 3 y + lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 5$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $3 y$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$4 x + 3 y + lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 5$

Étape 5.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$4 x + 3 y + 2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$4 x + 3 y + 2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

Étape 6

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$4 x + 3 y + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 5$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$4 x + 3 y + 0 - 1 \cdot 5$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$4 x + 3 y + 0 - 5$

Étape 7.2

Additionnez $4 x + 3 y$ et $0$ .

$4 x + 3 y - 5$

Étape 8