Calcul infinitésimal Exemples

$f (θ) = θ \cos (θ) \sin (θ)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ est $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ où $f (θ) = θ \cos (θ)$ et $g (θ) = \sin (θ)$ .

$θ \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Étape 2

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$θ \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Étape 3

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$θ (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Étape 4

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$θ (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ {\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Étape 6

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ est $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ où $f (θ) = θ$ et $g (θ) = \cos (θ)$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Étape 8

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 9.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1)$

Étape 9.2

Multipliez $\cos (θ)$ par $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

Étape 10.2

Associez des termes.

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Étape 10.2.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- (\sin^{1} (θ) \sin (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

Étape 10.2.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

Étape 10.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \sin (θ) \cos (θ)$

Étape 10.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) \cos (θ)$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$θ \cos^{2} (θ) - θ \sin^{2} (θ) + \cos (θ) \sin (θ)$