Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (x)$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \cos (x + h)$

Étape 2.1.2

La réponse finale est $\cos (x + h)$ .

$\cos (x + h)$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \cos (x + h)$

$f (x) = \cos (x)$

$f (x + h) = \cos (x + h)$

$f (x) = \cos (x)$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) - (\cos (x))}{h}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (x + h) - (\cos (x))}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (x + h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 4.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 4.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 4.1.2.1.4

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 4.1.2.1.5

Évaluez la limite de $\cos (x)$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (x + lim_{h \to 0} h) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 4.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{\cos (x + 0) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 4.1.2.3

Associez les termes opposés dans $\cos (x + 0) - \cos (x)$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 4.1.2.3.2

Soustrayez $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) - (\cos (x))}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h) - (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h) - (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x + h) - (\cos (x))$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [\cos (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 4.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [\cos (x + h)]$ .

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Étape 4.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = \cos (h)$ et $g (h) = x + h$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 4.3.3.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 4.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 4.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 4.3.3.3

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 4.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 4.3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 4.3.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 4.3.4

Comme $- \cos (x)$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 4.3.5

Additionnez $- \sin (x + h)$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 4.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h)}{1}$

Étape 4.4

Divisez $- \sin (x + h)$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (x + h)$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (x + h)$

Étape 5.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- \sin (lim_{h \to 0} x + h)$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \sin (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \sin (x + lim_{h \to 0} h)$

Étape 6

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- \sin (x + 0)$

Étape 7

Additionnez $x$ et $0$ .

$- \sin (x)$

Étape 8