Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 {(x + h)}^{5}$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1.3.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Étape 2.1.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Étape 2.1.2.1.4

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Étape 2.1.2.1.5

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5})$

Étape 2.1.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 3 (5 x^{4} h) - 3 (10 x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Étape 2.1.2.1.7

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1.7.1

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 3 (10 x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Étape 2.1.2.1.7.2

Multipliez $10$ par $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Étape 2.1.2.1.7.3

Multipliez $10$ par $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 30 (x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Étape 2.1.2.1.7.4

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 30 (x^{2} h^{3}) - 15 (x h^{4}) - 3 h^{5}$

Étape 2.1.2.1.8

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Étape 2.2.2

Déplacez $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Étape 2.2.3

Déplacez $x^{4}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Étape 2.2.4

Déplacez $x^{3}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Étape 2.2.5

Déplacez $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Étape 2.2.6

Déplacez $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5}$

Étape 2.2.7

Déplacez $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 5 x^{3}$

Étape 2.2.8

Déplacez $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Étape 2.2.9

Déplacez $15 h^{2} x$ .

$5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Étape 2.2.10

Déplacez $5 h^{3}$ .

$- 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Étape 2.2.11

Déplacez $- 3 x^{5}$ .

$- 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Étape 2.2.12

Déplacez $- 15 h x^{4}$ .

$- 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Étape 2.2.13

Déplacez $- 30 h^{2} x^{3}$ .

$- 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Étape 2.2.14

Déplacez $- 30 h^{3} x^{2}$ .

$- 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Étape 2.2.15

Remettez dans l’ordre $- 15 h^{4} x$ et $- 3 h^{5}$ .

$- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

$f (x + h) = - 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - (5 x^{3} - 3 x^{5})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - (5 x^{3}) - (- 3 x^{5})}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} - (- 3 x^{5})}{h}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} + 3 x^{5}}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $- 3 x^{5}$ et $3 x^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} + 0}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3}}{h}$

Étape 4.1.6

Soustrayez $5 x^{3}$ de $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 0}{h}$

Étape 4.1.7

Additionnez $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.8

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}$ .

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Étape 4.1.8.1

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.8.2

Factorisez $h$ à partir de $- 15 h^{4} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.8.3

Factorisez $h$ à partir de $- 30 h^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.8.4

Factorisez $h$ à partir de $- 30 h^{2} x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.8.5

Factorisez $h$ à partir de $- 15 h x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.8.6

Factorisez $h$ à partir de $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.8.7

Factorisez $h$ à partir de $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2}}{h}$

Étape 4.1.8.8

Factorisez $h$ à partir de $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.8.9

Factorisez $h$ à partir de $h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.8.10

Factorisez $h$ à partir de $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.8.11

Factorisez $h$ à partir de $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.8.12

Factorisez $h$ à partir de $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.8.13

Factorisez $h$ à partir de $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4}) + h (5 h^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.8.14

Factorisez $h$ à partir de $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.8.15

Factorisez $h$ à partir de $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2})}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2})}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Étape 4.2.2.3

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Étape 4.2.2.4

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2}$

Étape 4.2.2.5

Déplacez $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2}$

Étape 4.2.2.6

Déplacez $15 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Étape 4.2.2.7

Déplacez $- 3 h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Étape 4.2.2.8

Déplacez $- 15 x h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Étape 4.2.2.9

Déplacez $- 30 x^{2} h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 30 x^{2} h^{2} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Étape 4.2.2.10

Remettez dans l’ordre $- 30 x^{3} h$ et $- 15 x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 15 x^{4} - 30 x^{3} h - 30 x^{2} h^{2} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- lim_{h \to 0} 15 x^{4} - lim_{h \to 0} 30 x^{3} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Étape 6

Évaluez la limite de $15 x^{4}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- 15 x^{4} - lim_{h \to 0} 30 x^{3} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Étape 7

Placez le terme $30 x^{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Étape 8

Placez le terme $30 x^{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Étape 10

Placez le terme $15 x$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x lim_{h \to 0} h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $3$ de $h^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Étape 12

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 lim_{h \to 0} h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Étape 13

Déplacez l’exposant $4$ de $h^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Étape 14

Évaluez la limite de $15 x^{2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Étape 15

Placez le terme $15 x$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Étape 16

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2}$

Étape 17

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 18

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 18.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 18.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 18.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 18.4

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 18.5

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Étape 18.6

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19

Simplifiez la réponse.

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Étape 19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.1.1

Multipliez $- 1$ par $30$ .

$- 15 x^{4} - 30 x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.2

Multipliez $- 30 x^{3} \cdot 0$ .

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Étape 19.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 30$ .

$- 15 x^{4} + 0 x^{3} - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.2.2

Multipliez $0$ par $x^{3}$ .

$- 15 x^{4} + 0 - 1 \cdot 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.3

Multipliez $- 1$ par $30$ .

$- 15 x^{4} + 0 - 30 x^{2} \cdot 0^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 - 30 x^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.5

Multipliez $- 30 x^{2} \cdot 0$ .

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Étape 19.1.5.1

Multipliez $0$ par $- 30$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 x^{2} - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.5.2

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 - 1 \cdot 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.6

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 - 15 x \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 - 15 x \cdot 0 - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.8

Multipliez $- 15 x \cdot 0$ .

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Étape 19.1.8.1

Multipliez $0$ par $- 15$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 x - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.8.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0^{4} + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0 + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.10

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.11

Multipliez $15 x \cdot 0$ .

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Étape 19.1.11.1

Multipliez $0$ par $15$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.11.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2}$

Étape 19.1.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0$

Étape 19.1.13

Multipliez $5$ par $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$

Étape 19.2

Associez les termes opposés dans $- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$ .

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Étape 19.2.1

Additionnez $- 15 x^{4}$ et $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$

Étape 19.2.2

Additionnez $- 15 x^{4}$ et $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$

Étape 19.2.3

Additionnez $- 15 x^{4}$ et $0$ .

$- 15 x^{4} + 0 + 15 x^{2} + 0 + 0$

Étape 19.2.4

Additionnez $- 15 x^{4}$ et $0$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2} + 0 + 0$

Étape 19.2.5

Additionnez $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ et $0$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2} + 0$

Étape 19.2.6

Additionnez $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ et $0$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2}$

Étape 20