Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{2} - 5 x$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{2} - 5 (x + h)$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 4 ((x + h) (x + h)) - 5 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 4 (x (x + h) + h (x + h)) - 5 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 5 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 5 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 5 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 5 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 5 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 5 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2} - 5 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 (h x) + 4 h^{2} - 5 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 5 x - 5 h$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 5 x - 5 h$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 5 x - 5 h$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $- 5 x$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 5 h - 5 x$

Étape 2.2.2

Déplacez $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2} - 5 h - 5 x$

Étape 2.2.3

Remettez dans l’ordre $8 h x$ et $4 h^{2}$ .

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 5 h - 5 x$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 5 h - 5 x$

$f (x) = 4 x^{2} - 5 x$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 5 h - 5 x$

$f (x) = 4 x^{2} - 5 x$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 5 h - 5 x - (4 x^{2} - 5 x)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 5 h - 5 x - (4 x^{2}) - (- 5 x)}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 5 h - 5 x - 4 x^{2} - (- 5 x)}{h}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 5 h - 5 x - 4 x^{2} + 5 x}{h}$

Étape 4.1.4

Soustrayez $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x - 5 h - 5 x + 0 + 5 x}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $4 h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x - 5 h - 5 x + 5 x}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x - 5 h + 0}{h}$

Étape 4.1.7

Additionnez $4 h^{2} + 8 h x - 5 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x - 5 h}{h}$

Étape 4.1.8

Factorisez $h$ à partir de $4 h^{2} + 8 h x - 5 h$ .

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Étape 4.1.8.1

Factorisez $h$ à partir de $4 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h) + 8 h x - 5 h}{h}$

Étape 4.1.8.2

Factorisez $h$ à partir de $8 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h) + h (8 x) - 5 h}{h}$

Étape 4.1.8.3

Factorisez $h$ à partir de $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h) + h (8 x) + h \cdot - 5}{h}$

Étape 4.1.8.4

Factorisez $h$ à partir de $h (4 h) + h (8 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h + 8 x) + h \cdot - 5}{h}$

Étape 4.1.8.5

Factorisez $h$ à partir de $h (4 h + 8 x) + h \cdot - 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h + 8 x - 5)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h + 8 x - 5)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $4 h + 8 x - 5$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h + 8 x - 5$

Étape 4.2.2

Remettez dans l’ordre $4 h$ et $8 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 8 x + 4 h - 5$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 8 x + lim_{h \to 0} 4 h - lim_{h \to 0} 5$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $8 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$8 x + lim_{h \to 0} 4 h - lim_{h \to 0} 5$

Étape 5.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$8 x + 4 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$8 x + 4 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

Étape 6

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$8 x + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 5$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$8 x + 0 - 1 \cdot 5$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$8 x + 0 - 5$

Étape 7.2

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$8 x - 5$

Étape 8