Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 5 {(x + h)}^{2} + 6$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 {(x + h)}^{2} + 6$

Étape 2.1.2.1.2

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 ((x + h) (x + h)) + 6$

Étape 2.1.2.1.3

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x (x + h) + h (x + h)) + 6$

Étape 2.1.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 6$

Étape 2.1.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 6$

Étape 2.1.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 6$

Étape 2.1.2.1.4.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 6$

Étape 2.1.2.1.4.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 6$

Étape 2.1.2.1.4.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 6$

Étape 2.1.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 5 (2 h x) - 5 h^{2} + 6$

Étape 2.1.2.1.6

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Étape 2.2.2

Déplacez $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Étape 2.2.3

Déplacez $- 5 x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 10 h x - 5 h^{2} - 5 x^{2} + 6$

Étape 2.2.4

Déplacez $- 10 h x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Étape 2.2.5

Déplacez $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Étape 2.2.6

Déplacez $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Étape 2.2.7

Remettez dans l’ordre $3 h^{2} x$ et $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - (x^{3} - 5 x^{2} + 6)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} - (- 5 x^{2}) - 1 \cdot 6}{h}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} + 5 x^{2} - 1 \cdot 6}{h}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} + 5 x^{2} - 6}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 + 0 + 5 x^{2} - 6}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $h^{3}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 + 5 x^{2} - 6}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- 5 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 0 + 6 - 6}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $h^{3}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 6 - 6}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $6$ de $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 0}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Étape 4.1.9

Factorisez $h$ à partir de $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Étape 4.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Étape 4.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Étape 4.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $- 5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) - 10 h x}{h}$

Étape 4.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $- 10 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Étape 4.1.9.6

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Étape 4.1.9.7

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Étape 4.1.9.8

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 5 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Étape 4.1.9.9

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h) + h (- 10 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 10 x - 5 h$

Étape 4.2.2.3

Déplacez $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 10 x - 5 h$

Étape 4.2.2.4

Remettez dans l’ordre $3 x h$ et $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 10 x - 5 h$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Étape 6

Évaluez la limite de $3 x^{2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Étape 7

Placez le terme $3 x$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Étape 9

Évaluez la limite de $10 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Étape 10

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Multipliez $3 x \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1.1

Multipliez $0$ par $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

Étape 12.1.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

Étape 12.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x - 5 \cdot 0$

Étape 12.1.3

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x + 0$

Étape 12.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x + 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2} + 0 - 10 x + 0$

Étape 12.2.2

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 0$

Étape 12.2.3

Additionnez $3 x^{2} - 10 x$ et $0$ .

$3 x^{2} - 10 x$

Étape 13