Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{4}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Étape 2.2.2

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Étape 2.2.3

Déplacez $x$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4}$

Étape 2.2.4

Déplacez $x^{4}$ .

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4}$

Étape 2.2.5

Déplacez $4 h x^{3}$ .

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4}$

Étape 2.2.6

Déplacez $6 h^{2} x^{2}$ .

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

Étape 2.2.7

Remettez dans l’ordre $4 h^{3} x$ et $h^{4}$ .

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

$f (x) = x^{4}$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

$f (x) = x^{4}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - (x^{4})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 0}{h}$

Étape 4.1.2

Additionnez $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

Étape 4.1.3

Factorisez $h$ à partir de $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}$ .

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Étape 4.1.3.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Factorisez $h$ à partir de $4 h^{3} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Factorisez $h$ à partir de $6 h^{2} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3}}{h}$

Étape 4.1.3.4

Factorisez $h$ à partir de $4 h x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

Étape 4.1.3.5

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

Étape 4.1.3.6

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

Étape 4.1.3.7

Factorisez $h$ à partir de $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3})}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3})}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3}$

Étape 4.2.2.3

Déplacez $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3}$

Étape 4.2.2.4

Déplacez $4 x h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3}$

Étape 4.2.2.5

Remettez dans l’ordre $6 x^{2} h$ et $4 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Étape 6

Évaluez la limite de $4 x^{3}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Étape 7

Placez le terme $6 x^{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Étape 8

Placez le terme $4 x$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $3$ de $h^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Multipliez $6 x^{2} \cdot 0$ .

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Étape 12.1.1.1

Multipliez $0$ par $6$ .

$4 x^{3} + 0 x^{2} + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

Étape 12.1.1.2

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

Étape 12.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x^{3} + 0 + 4 x \cdot 0 + 0^{3}$

Étape 12.1.3

Multipliez $4 x \cdot 0$ .

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Étape 12.1.3.1

Multipliez $0$ par $4$ .

$4 x^{3} + 0 + 0 x + 0^{3}$

Étape 12.1.3.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0^{3}$

Étape 12.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0$

Étape 12.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{3} + 0 + 0 + 0$ .

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Étape 12.2.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$4 x^{3} + 0 + 0$

Étape 12.2.2

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Étape 12.2.3

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$4 x^{3}$

Étape 13