Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} e^{- (x + h)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) e^{- (x + h)}$

Étape 2.1.2.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = (x (x + h) + h (x + h)) e^{- (x + h)}$

Étape 2.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = (x \cdot x + x h + h (x + h)) e^{- (x + h)}$

Étape 2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) e^{- (x + h)}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) e^{- (x + h)}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = (x^{2} + x h + h x + h^{2}) e^{- (x + h)}$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = (x^{2} + h x + h x + h^{2}) e^{- (x + h)}$

Étape 2.1.2.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = (x^{2} + 2 h x + h^{2}) e^{- (x + h)}$

Étape 2.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = (x^{2} + 2 h x + h^{2}) e^{- x - h}$

Étape 2.1.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{2} e^{- x - h} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$

Étape 2.1.2.6

La réponse finale est $x^{2} e^{- x - h} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$ .

$x^{2} e^{- x - h} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Remettez dans l’ordre $- x$ et $- h$ .

$x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $- x$ et $- h$ .

$x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- x - h}$

Étape 2.2.3

Remettez dans l’ordre $- x$ et $- h$ .

$x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x}$

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

$f (x + h) = x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x}$

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - (x^{2} e^{- x})}{h}$

Étape 4

Supprimez les parenthèses.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}}{h}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} x^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.2

Placez le terme $x^{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{x^{2} lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{x^{2} e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.5

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.6

Placez le terme $2 x$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.7

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.8

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.10

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.11

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.12

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.13

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.15

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.16

Évaluez la limite de $x^{2} e^{- x}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.17

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.17.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.17.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.17.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.17.4

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.17.5

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.18

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.18.1

Associez les termes opposés dans $x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.18.1.1

Soustrayez $x$ de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.18.1.2

Soustrayez $x$ de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.18.1.3

Soustrayez $x$ de $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.18.1.4

Soustrayez $x^{2} e^{- x}$ de $x^{2} e^{- x}$ .

$\frac{2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x} + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.18.1.5

Additionnez $2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}$ et $0$ .

$\frac{2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.18.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.18.2.1

Multipliez $2 x \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.18.2.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{0 x \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.18.2.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.18.2.2

Multipliez $0$ par $e^{- x}$ .

$\frac{0 + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.18.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 + 0 \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.18.2.4

Multipliez $0$ par $e^{- x}$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.18.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x^{2} e^{- h - x}$ par rapport à $h$ est $x^{2} \frac{d}{d h} [e^{- h - x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} \frac{d}{d h} [e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = e^{h}$ et $g (h) = - h - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- h - x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d h} [- h - x]) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d h} [- h - x]) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- h - x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} \frac{d}{d h} [- h - x]) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- h - x$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x])) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- h$ par rapport à $h$ est $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x])) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- x])) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.6

Comme $- x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.8

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.9

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- 1 \cdot e^{- h - x}) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.10

Réécrivez $- 1 e^{- h - x}$ comme $- e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $2 h x e^{- h - x}$ par rapport à $h$ est $2 x \frac{d}{d h} [h e^{- h - x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x \frac{d}{d h} [h e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ est $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ où $f (h) = h$ et $g (h) = e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h \frac{d}{d h} [e^{- h - x}] + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = e^{h}$ et $g (h) = - h - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- h - x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{u_{2}} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- h - x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- h - x$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- h$ par rapport à $h$ est $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.7

Comme $- x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 + 0)) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.10

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} \cdot - 1) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.11

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- 1 \cdot e^{- h - x}) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.12

Réécrivez $- 1 e^{- h - x}$ comme $- e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4.13

Multipliez $e^{- h - x}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5

Évaluez $\frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ est $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ où $f (h) = h^{2}$ et $g (h) = e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} \frac{d}{d h} [e^{- h - x}] + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = e^{h}$ et $g (h) = - h - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $- h - x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $- h - x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- h - x$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- h$ par rapport à $h$ est $- \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5.6

Comme $- x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 + 0)) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5.9

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} \cdot - 1) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5.10

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (- 1 \cdot e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5.11

Réécrivez $- 1 e^{- h - x}$ comme $- e^{- h - x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.6

Comme $- x^{2} e^{- x}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- x^{2} e^{- x}$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.7.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) - 2 x (h (e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.7.2.2

Additionnez $x^{2} (- e^{- h - x}) - 2 x (h (e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h)$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) - 2 x (h (e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{h \to 0} \frac{- e^{- h - x} x^{2} - 2 e^{- h - x} h x + 2 e^{- h - x} x - e^{- h - x} h^{2} + 2 e^{- h - x} h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.7.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- h - x} x^{2} - 2 e^{- h - x} h x + 2 e^{- h - x} x - e^{- h - x} h^{2} + 2 e^{- h - x} h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}}{1}$

Étape 5.4

Divisez $- x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} - x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}$

Étape 6

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- lim_{h \to 0} x^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.2

Placez le terme $x^{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- x^{2} lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.3

Placez la limite dans l’exposant.

$- x^{2} e^{lim_{h \to 0} - h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.5

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.6

Placez le terme $2 x$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.7

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.8

Placez la limite dans l’exposant.

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.10

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.11

Placez le terme $2 x$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.12

Placez la limite dans l’exposant.

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{lim_{h \to 0} - h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.13

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.14

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.15

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.16

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.17

Placez la limite dans l’exposant.

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.18

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.19

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

Étape 6.20

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h e^{- h - x}$

Étape 6.21

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

Étape 6.22

Placez la limite dans l’exposant.

Étape 6.23

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

Étape 6.24

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

Étape 7.4

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

Étape 7.5

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

Étape 7.6

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

Étape 7.7

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

Étape 7.8

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Associez les termes opposés dans $- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Soustrayez $x$ de $0$ .

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

Étape 8.1.2

Soustrayez $x$ de $0$ .

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

Étape 8.1.3

Soustrayez $x$ de $0$ .

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

Étape 8.1.4

Soustrayez $x$ de $0$ .

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

Étape 8.1.5

Soustrayez $x$ de $0$ .

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 2 x \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 2$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 x \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Étape 8.2.3

Multipliez $0$ par $e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Étape 8.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} - 0 \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Étape 8.2.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Étape 8.2.6

Multipliez $0$ par $e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

Étape 8.2.7

Multipliez $2$ par $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 0 \cdot e^{- x}$

Étape 8.2.8

Multipliez $0$ par $e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 0$

Étape 8.3

Associez les termes opposés dans $- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Additionnez $- x^{2} e^{- x}$ et $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 0 + 0$

Étape 8.3.2

Additionnez $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ et $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 0$

Étape 8.3.3

Additionnez $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ et $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Étape 9