Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{27 - 6 x - x^{2}}{x - 3}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{27 - 6 (x + h) - {(x + h)}^{2}}{(x + h) - 3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ et dont la somme est $b = - 6$ .

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Étape 2.1.2.1.1.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 27 - 6 (x + h)}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $27$ et $- 6 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} - 6 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.1.1.1.3

Réécrivez $- 6$ comme $3$ plus $- 9$

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + (3 - 9) (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.1.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x + h) = \frac{(- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x + h) = \frac{(x + h) (- (x + h) + 3) + 9 (- (x + h) + 3)}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- (x + h) + 3$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{(- x - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun à $- x - h + 3$ et $x + h - 3$ .

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Étape 2.1.2.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (h)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.2.1.4

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x + h) - 1 (- 3)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.2.1.6

Réécrivez $- (x + h - 3)$ comme $- 1 (x + h - 3)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.2.1.7

Annulez le facteur commun.

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Étape 2.1.2.2.1.8

Divisez $- 1 (x + h + 9)$ par $1$ .

$f (x + h) = - 1 (x + h + 9)$

Étape 2.1.2.2.2

Réécrivez $- 1 (x + h + 9)$ comme $- (x + h + 9)$ .

$f (x + h) = - (x + h + 9)$

Étape 2.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = - x - h - 1 \cdot 9$

Étape 2.1.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (x + h) = - x - h - 9$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $- x - h - 9$ .

$- x - h - 9$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre $- x$ et $- h$ .

$- h - x - 9$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 - (- 9 - x)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- - x$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + 1 x}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $- x$ et $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0 - 9 + 9}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $- h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - 9 + 9}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0}{h}$

Étape 4.1.7

Additionnez $- h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

Étape 4.2.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 1$

Étape 5

Évaluez la limite de $- 1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- 1$

Étape 6