Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 x - 2 x^{2} + 6}{2 x}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun à $4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6$ et $2$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

Étape 2.1.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 {(x + h)}^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

Étape 2.1.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2})$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

Étape 2.1.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 \cdot 3}{2 (x + h)}$

Étape 2.1.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 (3)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

Étape 2.1.2.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

Étape 2.1.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3}{x + h}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.2.1

Laissez $u = x + h$ . Remplacez toutes les occurrences de $x + h$ par $u$ .

$f (x + h) = \frac{2 u - u^{2} + 3}{x + h}$

Étape 2.1.2.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.2.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 u + 3}{x + h}$

Étape 2.1.2.2.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 2.1.2.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 u$ .

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 (u) + 3}{x + h}$

Étape 2.1.2.2.2.2.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3}{x + h}$

Étape 2.1.2.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} - 1 u + 3 u + 3}{x + h}$

Étape 2.1.2.2.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.2.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x + h) = \frac{(- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3}{x + h}$

Étape 2.1.2.2.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x + h) = \frac{u (- u - 1) - 3 (- u - 1)}{x + h}$

Étape 2.1.2.2.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u - 1$ .

$f (x + h) = \frac{(- u - 1) (u - 3)}{x + h}$

Étape 2.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Étape 2.1.2.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{(- x - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1.2.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Étape 2.1.2.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Étape 2.1.2.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (h)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Étape 2.1.2.3.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Étape 2.1.2.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x + h) - 1 (1)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Étape 2.1.2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.3.6.1

Réécrivez $- (x + h + 1)$ comme $- 1 (x + h + 1)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Étape 2.1.2.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Étape 2.1.2.4

La réponse finale est $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ .

$- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} - (- \frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ .

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Étape 4.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + 1 (\frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

Étape 4.1.3

Pour écrire $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 4.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $\frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ par $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Étape 4.1.4.2

Multipliez $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ par $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{x (x + h)} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1 \cdot 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.3

Développez $(- x - h - 1) (x + h - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x \cdot x - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.6.4.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.4.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- (x \cdot x) - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.4.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.4.3

Multipliez $h$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.4.3.1

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - (h \cdot h) - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.4.3.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.4.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.4.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.4.6

Réécrivez $- 1 h$ comme $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.4.7

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.5

Soustrayez $h x$ de $- x h$ .

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Étape 4.1.6.5.1

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - 1 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.5.2

Soustrayez $x h$ de $- x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.6

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 3 h - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.7

Soustrayez $h$ de $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 2 h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.8

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} x - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.9

Simplifiez

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Étape 4.1.6.9.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.9.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.9.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.6.9.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{1 + 2} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.9.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.9.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.9.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 (x \cdot x) h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.9.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.9.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.9.3.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 (x \cdot x) - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.9.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.10

Développez $(x + 1) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.6.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x (x - 3) + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.6.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.6.11.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.11.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.11.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.11.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.11.2

Additionnez $- 3 x$ et $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 2 x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.12

Développez $(x^{2} - 2 x - 3) (x + h)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.6.13.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.13.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.1.6.13.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.13.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2 + 1} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.13.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.13.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.13.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 (x \cdot x) - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.13.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.14

Additionnez $- x^{3}$ et $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.15

Additionnez $- 2 x^{2} h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.16

Additionnez $- 2 x^{2} h$ et $x^{2} h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.17

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.18

Additionnez $- x^{2} h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.19

Soustrayez $2 x h$ de $2 h x$ .

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Étape 4.1.6.19.1

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 2 x h - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.19.2

Soustrayez $2 x h$ de $2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 0 - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.20

Additionnez $- x^{2} h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.21

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 0 - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.22

Additionnez $- x^{2} h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.23

Factorisez $h$ à partir de $- x^{2} h - h^{2} x - 3 h$ .

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Étape 4.1.6.23.1

Factorisez $h$ à partir de $- x^{2} h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.23.2

Factorisez $h$ à partir de $- h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.23.3

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.23.4

Factorisez $h$ à partir de $h (- x^{2}) + h (- h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.1.6.23.5

Factorisez $h$ à partir de $h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Associez.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h)}$

Étape 4.5

Multipliez $- x^{2} - h x - 3$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} - h x - 3}{x (x + h)}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - h x - 3}{x (x + h)}$

Étape 4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - (h x) - 3}{x (x + h)}$

Étape 4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 3}{x (x + h)}$

Étape 4.9

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 1 \cdot 3}{x (x + h)}$

Étape 4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + h x) - 1 (3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

Étape 4.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.11.1

Réécrivez $- (x^{2} + h x + 3)$ comme $- 1 (x^{2} + h x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1 (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

Étape 4.11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

Étape 5

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{1}{x}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x + h}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + h x + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Étape 9

Évaluez la limite de $x^{2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Étape 10

Placez le terme $x$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Étape 11

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Étape 12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Étape 13

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + 0}$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Multipliez $x$ par $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 0 + 3}{x + 0}$

Étape 15.1.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x + 0}$

Étape 15.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$

Étape 15.3

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$ .

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Étape 15.3.1

Multipliez $\frac{x^{2} + 3}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x \cdot x}$

Étape 15.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x}$

Étape 15.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x^{1}}$

Étape 15.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1 + 1}}$

Étape 15.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{2}}$

Étape 16