Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} + 5 x^{3}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Étape 2.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Étape 2.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Étape 2.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 5 {(x + h)}^{3}$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 5 {(x + h)}^{3}$

Étape 2.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Étape 2.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Étape 2.1.2.1.4

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Étape 2.1.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3}$

Étape 2.1.2.1.6

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1.6.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3}$

Étape 2.1.2.1.6.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3}$

Étape 2.1.2.1.7

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Étape 2.2.2

Déplacez $x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3}$

Étape 2.2.3

Déplacez $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + x^{2}$

Étape 2.2.4

Déplacez $2 h x$ .

$h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 2 h x + x^{2}$

Étape 2.2.5

Déplacez $h^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Étape 2.2.6

Déplacez $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Étape 2.2.7

Déplacez $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Étape 2.2.8

Remettez dans l’ordre $15 h^{2} x$ et $5 h^{3}$ .

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2} + 5 x^{3}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - (x^{2} + 5 x^{3})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} - (5 x^{3})}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} - 5 x^{3}}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $5 x^{3}$ de $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} + 0}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2}}{h}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Étape 4.1.7

Factorisez $h$ à partir de $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $h$ à partir de $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Étape 4.1.7.2

Factorisez $h$ à partir de $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Étape 4.1.7.3

Factorisez $h$ à partir de $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h^{2} + 2 h x}{h}$

Étape 4.1.7.4

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + 2 h x}{h}$

Étape 4.1.7.5

Factorisez $h$ à partir de $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Étape 4.1.7.6

Factorisez $h$ à partir de $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Étape 4.1.7.7

Factorisez $h$ à partir de $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Étape 4.1.7.8

Factorisez $h$ à partir de $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h (h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h) + h (2 x)}{h}$

Étape 4.1.7.9

Factorisez $h$ à partir de $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} + h + 2 x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} + 2 x + h$

Étape 4.2.2.3

Déplacez $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} + 2 x + h$

Étape 4.2.2.4

Remettez dans l’ordre $15 x h$ et $15 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} + 2 x + h$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Étape 6

Évaluez la limite de $15 x^{2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Étape 7

Placez le terme $15 x$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Étape 8

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Étape 10

Évaluez la limite de $2 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x + 0$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Additionnez $15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$ et $0$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Étape 12.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1

Multipliez $15 x \cdot 0$ .

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $0$ par $15$ .

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Étape 12.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 + 2 x$

Étape 12.2.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 + 2 x$

Étape 12.3

Associez les termes opposés dans $15 x^{2} + 0 + 0 + 2 x$ .

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Étape 12.3.1

Additionnez $15 x^{2}$ et $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 2 x$

Étape 12.3.2

Additionnez $15 x^{2}$ et $0$ .

$15 x^{2} + 2 x$

Étape 13