Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x^{2} + 1$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.6.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2} - 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - 2 (2 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x - 2 (2 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.5.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.5.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.5.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 x$ .

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Étape 1.1.1.3.5.2.1

Soustrayez $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x + 0 - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.2.2

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$\frac{- 4 x - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.3

Soustrayez $2 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{- 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1.3.7.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.7.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$- \frac{6 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.7.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{6 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{6 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$

Étape 1.1.2.2

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ et $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - 1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez.

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Étape 1.1.2.6.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 1)}^{2}$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 \cdot {(x + 1)}^{2} (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + 0) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) \cdot 1 + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Différenciez.

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Étape 1.1.2.8.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 1)}^{2}$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 \cdot {(x - 1)}^{2} (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + 0))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.5

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.8.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) \cdot 1)}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 6 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.5.3

Associez $- 6$ et $\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 6 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Simplifiez

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Étape 1.1.2.9.1

Appliquez la règle de produit à ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{6 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{6 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)) - x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{6 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + 6 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 6 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.9.4.1

Factorisez $6 (x + 1) (x - 1)$ à partir de $6 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} + 6 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 6 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

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Étape 1.1.2.9.4.1.1

Factorisez $6 (x + 1) (x - 1)$ à partir de $6 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 6 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 6 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.1.2

Factorisez $6 (x + 1) (x - 1)$ à partir de $6 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)))$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 6 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 6 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.1.3

Factorisez $6 (x + 1) (x - 1)$ à partir de $6 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 6 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 6 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.1.4

Factorisez $6 (x + 1) (x - 1)$ à partir de $6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 6 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1)))$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 6 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.1.5

Factorisez $6 (x + 1) (x - 1)$ à partir de $6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 6 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1)) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.2

Associez les exposants.

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Étape 1.1.2.9.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.9.4.3.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.9.4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.2.9.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.9.4.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 0 - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.9.4.3.4.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.9.4.3.7.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.4

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.1.2.9.4.4.1

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.4.2

Additionnez $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ et $0$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.5

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (- x^{2} - 1 - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.6

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.5

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.9.5.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.9.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.5.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.5.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.9.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.9.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{6 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.9.5.3

Annulez le facteur commun à $x + 1$ et ${(x + 1)}^{4}$ .

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Étape 1.1.2.9.5.3.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $6 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{(x + 1) ((6 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.9.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.9.5.3.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x + 1) ((6 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Étape 1.1.2.9.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(x + 1) ((6 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Étape 1.1.2.9.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{(6 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.9.5.4

Annulez le facteur commun à $x - 1$ et ${(x - 1)}^{4}$ .

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Étape 1.1.2.9.5.4.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $6 (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{(x - 1) (6 (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.9.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.9.5.4.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x - 1) (6 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Étape 1.1.2.9.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(x - 1) (6 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Étape 1.1.2.9.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{6 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.9.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{6 (- (3 x^{2}) - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.9.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- \frac{6 (- (3 x^{2}) - 1 (1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.9.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ .

$- \frac{6 (- (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.9.9

Réécrivez $- (3 x^{2} + 1)$ comme $- 1 (3 x^{2} + 1)$ .

$- \frac{6 (- 1 (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.9.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.9.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.9.12

Multipliez $\frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{6 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 (3 x^{2} + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 (3 x^{2} + 1) = 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $6 (3 x^{2} + 1) = 0$ par $6$ .

$\frac{6 (3 x^{2} + 1)}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 1.2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (3 x^{2} + 1)}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 1.2.3.1.2.1.2

Divisez $3 x^{2} + 1$ par $1$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{0}{6}$

Étape 1.2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = - 1$

Étape 1.2.3.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 1.2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 1.2.3.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Étape 1.2.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Étape 1.2.3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Étape 1.2.3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.2.3.5.1

Réécrivez $- \frac{1}{3}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

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Étape 1.2.3.5.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Étape 1.2.3.5.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Étape 1.2.3.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Étape 1.2.3.5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.3.5.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 1.2.3.5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.5.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 1.2.3.5.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.3.5.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.2.3.5.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.2.3.5.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.5.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.5.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 2.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 1, - 1}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 1, - 1}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = \frac{6 (3 {(- 4)}^{2} + 1)}{{((- 4) + 1)}^{3} {((- 4) - 1)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 (3 \cdot 16 + 1)}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 (48 + 1)}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Étape 4.2.1.3

Additionnez $48$ et $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 \cdot 49}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 \cdot 49}{{(- 3)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 \cdot 49}{{(- 3)}^{3} {(- 5)}^{3}}$

Étape 4.2.2.3

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 \cdot 49}{- 27 {(- 5)}^{3}}$

Étape 4.2.2.4

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{6 \cdot 49}{- 27 \cdot - 125}$

Étape 4.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $6$ par $49$ .

$f'' (- 4) = \frac{294}{- 27 \cdot - 125}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $- 27$ par $- 125$ .

$f'' (- 4) = \frac{294}{3375}$

Étape 4.2.3.3

Annulez le facteur commun à $294$ et $3375$ .

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Étape 4.2.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $294$ .

$f'' (- 4) = \frac{3 (98)}{3375}$

Étape 4.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3375$ .

$f'' (- 4) = \frac{3 \cdot 98}{3 \cdot 1125}$

Étape 4.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 4) = \frac{3 \cdot 98}{3 \cdot 1125}$

Étape 4.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 4) = \frac{98}{1125}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $\frac{98}{1125}$ .

$\frac{98}{1125}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 1, 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{6 (3 {(0)}^{2} + 1)}{{((0) + 1)}^{3} {((0) - 1)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{6 (3 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{6 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{{(- 1 \cdot (0 - 1))}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 \cdot (0 - 1)$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{{(- 1)}^{3} \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Étape 5.2.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Étape 5.2.2.6

Multipliez ${(0 - 1)}^{3}$ par ${(0 - 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.6.1

Déplacez ${(0 - 1)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Étape 5.2.2.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{3 + 3}}$

Étape 5.2.2.6.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Étape 5.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (0) = \frac{6}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{6}{- 1 {(- 1)}^{6}}$

Étape 5.2.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$f'' (0) = \frac{6}{- 1 \cdot 1}$

Étape 5.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (0) = \frac{6}{- 1}$

Étape 5.2.5.2

Divisez $6$ par $- 1$ .

$f'' (0) = - 6$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 1, 1)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 1, 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = \frac{6 (3 {(4)}^{2} + 1)}{{((4) + 1)}^{3} {((4) - 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = \frac{6 (3 \cdot 16 + 1)}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f'' (4) = \frac{6 (48 + 1)}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $48$ et $1$ .

$f'' (4) = \frac{6 \cdot 49}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $4$ et $1$ .

$f'' (4) = \frac{6 \cdot 49}{5^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{6 \cdot 49}{5^{3} \cdot 3^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = \frac{6 \cdot 49}{125 \cdot 3^{3}}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = \frac{6 \cdot 49}{125 \cdot 27}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $6$ par $49$ .

$f'' (4) = \frac{294}{125 \cdot 27}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $125$ par $27$ .

$f'' (4) = \frac{294}{3375}$

Étape 6.2.3.3

Annulez le facteur commun à $294$ et $3375$ .

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Étape 6.2.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $294$ .

$f'' (4) = \frac{3 (98)}{3375}$

Étape 6.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3375$ .

$f'' (4) = \frac{3 \cdot 98}{3 \cdot 1125}$

Étape 6.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (4) = \frac{3 \cdot 98}{3 \cdot 1125}$

Étape 6.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (4) = \frac{98}{1125}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{98}{1125}$ .

$\frac{98}{1125}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(1, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 1, 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8