Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\cot (x)}{\sin (x)}$

Étape 1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}]$

Étape 2

Réécrivez $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ comme un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}]$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x) \frac{1}{\sin (x)}]$

Étape 3.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \csc (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 5

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 6

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 7

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 9

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Étape 10

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Étape 11

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x))$

Étape 12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2}$

Étape 13

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \cot^{2} (x) \csc (x) - \csc^{3} (x)$