Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ et $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.7

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Développez $(x - 2) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 x - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 x + 4 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 4 + 2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.3

Additionnez $- 6 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.4

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1.3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 1.1.1.3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f' (x) = \frac{(x - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 3$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez.

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Étape 1.1.2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.4.2

Multipliez $x - 3$ par $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.1.2.4.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.8.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + x - 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 3 - 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.8.4

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.2.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.6.2

Factorisez $x - 2$ à partir de ${(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

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Étape 1.1.2.6.2.1

Factorisez $x - 2$ à partir de ${(x - 2)}^{2} (2 x - 4)$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.6.2.2

Factorisez $x - 2$ à partir de $- 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) + (x - 2) (- 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.6.2.3

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) + (x - 2) (- 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 1.1.2.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.7.1

Factorisez $x - 2$ à partir de ${(x - 2)}^{4}$ .

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.11.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.12.2.1.1

Développez $(x - 2) (2 x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.12.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x - 4) - 2 (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.2.12.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.12.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.12.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.2.1.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 4 x + 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 + (- 2 x + 6) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.4

Développez $(- 2 x + 6) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.12.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x (x - 1) + 6 (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 6 (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.2.12.2.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.12.2.1.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.12.2.1.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 2 x + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.5.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 2 x + 6 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.1.5.2

Additionnez $2 x$ et $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 8 x - 6$ .

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Étape 1.1.2.12.2.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 8 x + 8 + 0 + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.2.2

Additionnez $- 8 x + 8$ et $0$ .

$\frac{- 8 x + 8 + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.2.3

Additionnez $- 8 x$ et $8 x$ .

$\frac{0 + 8 - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.2.4

Additionnez $0$ et $8$ .

$\frac{8 - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.12.2.3

Soustrayez $6$ de $8$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{{(x - 2)}^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 2)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 8}$

Étape 4.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 8$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (0) = \frac{2 (1)}{- 8}$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

Étape 4.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = \frac{1}{- 4}$

Étape 4.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = - \frac{1}{4}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 2)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = \frac{2}{{((4) - 2)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1.1

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{2}{2^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = \frac{2}{8}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (4) = \frac{2 (1)}{8}$

Étape 5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (4) = \frac{1}{4}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(2, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7