Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 x^{2} + 1}$ comme ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 9 x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.8.3

Placez ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1] - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.10

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.12

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.13

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + 0) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.14

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.14.1

Additionnez $18 x$ et $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.14.2

Associez $18$ et $\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{18 x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.14.3

Associez $\frac{18 x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{\frac{18 x \cdot x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{18 (x^{1} x)}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{18 (x^{1} x^{1})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{18 x^{1 + 1}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{18 x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.19

Factorisez $2$ à partir de $18 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (9 x^{2})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 (9 x^{2})}{2 ({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.20.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 (9 x^{2})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.20.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.21

Multipliez $\frac{\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ par $\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.22

Associez.

$\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.23

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.24

Annulez le facteur commun de ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.1.1.24.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.1.1.24.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.25

Multipliez ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.25.1

Déplacez ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.25.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.25.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.25.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.25.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.26

Simplifiez ${(9 x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])$ .

$\frac{9 x^{2} + (9 x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.27

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{9 x^{2} + (9 x^{2} + 1) (- 1 \cdot 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.28

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.28.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{9 x^{2} + (9 x^{2} + 1) \cdot - 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.28.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $9 x^{2} + 1$ .

$\frac{9 x^{2} - 1 \cdot (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.28.3

Réécrivez $- 1 (9 x^{2} + 1)$ comme $- (9 x^{2} + 1)$ .

$\frac{9 x^{2} - (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.29

Simplifiez

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Étape 1.1.1.29.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 x^{2} - (9 x^{2}) - 1 \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.29.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.29.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.29.2.1.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{9 x^{2} - 9 x^{2} - 1 \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.29.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{9 x^{2} - 9 x^{2} - 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.29.2.2

Soustrayez $9 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{0 - 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.29.2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.29.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Étape 1.1.1.29.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- (- {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.4

Multipliez.

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Étape 1.1.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 ({(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ par $1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 9 x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $9 x^{2} + 1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $9 x^{2} + 1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.11

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.11.3

Placez ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.11.4

Associez $\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1] + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.13

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.15

Multipliez $2$ par $9$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.16

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + 0) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.17

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.17.1

Additionnez $18 x$ et $0$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.17.2

Associez $18$ et $\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.17.3

Associez $\frac{18 x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{2} x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.18

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 (x^{1} x^{2})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{1 + 2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.20

Additionnez $1$ et $2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{3}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.21

Factorisez $2$ à partir de $18 x^{3}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{2 (9 x^{3})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.22

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.22.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{2 (9 x^{3})}{2 ({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.22.2

Annulez le facteur commun.

Étape 1.1.2.22.3

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.23

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x)) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.24

Déplacez $2$ à gauche de ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.25

Associez $\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 1.1.2.25.1

Déplacez ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.25.2

Pour écrire $2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.25.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.26

Multipliez ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.26.1

Déplacez ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x ({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.26.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.26.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.26.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.26.5

Divisez $2$ par $2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{1}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.27

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.27.1

Simplifiez $2 x {(9 x^{2} + 1)}^{1}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.27.2

Associez ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ et $\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1))}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.27.3

Placez ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.28

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 1.1.2.29

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.29.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $0$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 0$

Étape 1.1.2.29.2

Additionnez $\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ et $0$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.2.30

Simplifiez

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Étape 1.1.2.30.1

Appliquez la règle de produit à $x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 1.1.2.30.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2}) + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 1.1.2.30.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.30.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.30.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 1.1.2.30.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.30.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 (x^{2} x) + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 1.1.2.30.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.2.30.3.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 1.1.2.30.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 1.1.2.30.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 x^{3} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 1.1.2.30.3.1.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{9 x^{3} + 18 x^{3} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 1.1.2.30.3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 18 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 1.1.2.30.3.2

Additionnez $9 x^{3}$ et $18 x^{3}$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 1.1.2.30.4

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.30.4.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.30.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2 \cdot 2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 1.1.2.30.4.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 1.1.2.30.4.2

Multipliez les exposants dans ${({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.30.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 1.1.2.30.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.30.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 1.1.2.30.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{1})}$

Étape 1.1.2.30.4.3

Simplifiez

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} (9 x^{2} + 1))}$

Étape 1.1.2.30.4.4

Multipliez ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $9 x^{2} + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.30.4.4.1

Déplacez $9 x^{2} + 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{(9 x^{2} + 1) {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Étape 1.1.2.30.4.4.2

Multipliez $9 x^{2} + 1$ par ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.1.2.30.4.4.2.1

Élevez $9 x^{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{1} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Étape 1.1.2.30.4.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}} x^{4}}$

Étape 1.1.2.30.4.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{4}}$

Étape 1.1.2.30.4.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}} x^{4}}$

Étape 1.1.2.30.4.4.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{4}}$

Étape 1.1.2.30.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.2.30.6

Factorisez $x$ à partir de $27 x^{3} + 2 x$ .

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Étape 1.1.2.30.6.1

Factorisez $x$ à partir de $27 x^{3}$ .

$\frac{x (27 x^{2}) + 2 x}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.2.30.6.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x (27 x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.2.30.6.3

Factorisez $x$ à partir de $x (27 x^{2}) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 2)}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.2.30.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.30.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 2)}{x (x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 1.1.2.30.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (27 x^{2} + 2)}{x (x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 1.1.2.30.7.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$27 x^{2} + 2 = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$27 x^{2} = - 2$

Étape 1.2.3.2

Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = - 2$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = - 2$ par $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{- 2}{27}$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{- 2}{27}$

Étape 1.2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{27}$

Étape 1.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{2}{27}$

Étape 1.2.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{27}}$

Étape 1.2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{2}{27}}$ .

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Étape 1.2.3.4.1

Réécrivez $- \frac{2}{27}$ comme ${(\frac{i}{3})}^{2} \frac{2}{3}$ .

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Étape 1.2.3.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{27}}$

Étape 1.2.3.4.1.2

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $2$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 2}{27}}$

Étape 1.2.3.4.1.3

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $27$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 2}{3^{2} \cdot 3}}$

Étape 1.2.3.4.1.4

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} \cdot 2}{3^{2} \cdot 3}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2}{3})}$

Étape 1.2.3.4.1.5

Réécrivez $i^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$ comme ${(\frac{i}{3})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{3})}^{2} \frac{2}{3}}$

Étape 1.2.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{i}{3} \sqrt{\frac{2}{3}}$

Étape 1.2.3.4.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 1.2.3.4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.4.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.4.5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.4.5.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 1.2.3.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.3.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.2.3.4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.2.3.4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 1.2.3.4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.4.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Étape 1.2.3.4.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 1.2.3.4.7

Multipliez $\frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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Étape 1.2.3.4.7.1

Multipliez $\frac{i}{3}$ par $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.4.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{9}$

Étape 1.2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{9}$

Étape 1.2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{9}$

Étape 1.2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{9}, - \frac{i \sqrt{6}}{9}$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{9 x^{2} + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$9 x^{2} + 1 \geq 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$9 x^{2} \geq - 1$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x^{2} \geq - 1$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x^{2} \geq - 1$ par $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} \geq \frac{- 1}{9}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x^{2}}{9} \geq \frac{- 1}{9}$

Étape 2.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{9}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} \geq - \frac{1}{9}$

Étape 2.2.3

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 2.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = \frac{27 {(- 2)}^{2} + 2}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{27 \cdot 4 + 2}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $27$ par $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{108 + 2}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.1.3

Additionnez $108$ et $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 {(9 \cdot 4 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.2.2.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 {(36 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $36$ et $1$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $110$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (55)}{- 8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (55)}{2 (- 4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

Étape 4.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 55}{2 (- 4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

Étape 4.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 2) = \frac{55}{- 4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 2) = - \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est $- \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ car $f'' (- 2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = \frac{27 {(2)}^{2} + 2}{{(2)}^{3} {(9 {(2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = \frac{27 \cdot 4 + 2}{2^{3} {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $27$ par $4$ .

$f'' (2) = \frac{108 + 2}{2^{3} {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $108$ et $2$ .

$f'' (2) = \frac{110}{2^{3} {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = \frac{110}{8 {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = \frac{110}{8 {(9 \cdot 4 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.2.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$f'' (2) = \frac{110}{8 {(36 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $36$ et $1$ .

$f'' (2) = \frac{110}{8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.3

Factorisez $2$ à partir de $110$ .

$f'' (2) = \frac{2 (55)}{8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (2) = \frac{2 (55)}{2 (4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

Étape 5.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 55}{2 (4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

Étape 5.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (2) = \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $\frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, \infty)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7