Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 2 x$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.9.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.9.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x)) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.3.1.1

Développez $(x^{2} - 4) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.3.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 2) - 4 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.3.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.3.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.2.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.2.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x - 4 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.2.5

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} - 2 (- 2 (x \cdot x))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8 x + 8 + 0 + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.2.2

Additionnez $- 2 x^{2} - 8 x + 8$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8 x + 8 + 4 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3.3

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 8 x + 8$ .

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Étape 1.1.1.3.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) - 8 x + 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.1.3.4.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 1.1.1.3.4.2.3

Réécrivez le polynôme.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1.3.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6

Annulez le facteur commun de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.2.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 2)}^{2}})$

Étape 1.1.2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ comme ${({(x + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(x + 2)}^{2})}^{- 1})$

Étape 1.1.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2 \cdot - 1})$

Étape 1.1.2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{- 2})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 2))$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Étape 1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 {(x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Étape 1.1.2.3

Différenciez.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 4 ({(x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 2))$

Étape 1.1.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))$

Étape 1.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (2))$

Étape 1.1.2.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} (1 + 0)$

Étape 1.1.2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3} \cdot 1$

Étape 1.1.2.3.5.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 2)}^{- 3}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.1.2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{1}{{(x + 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.4.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{{(x + 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4}{{(x + 2)}^{3}}$

Étape 1.1.2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(x + 2)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{4}{{(x + 2)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $4 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2, - 2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2, - 2}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{((- 4) + 2)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{(- 2)}^{3}}$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{- 8}$

Étape 4.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $- 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (1)}{- 8}$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Étape 4.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Étape 4.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 4) = - \frac{1}{- 2}$

Étape 4.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 2, 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{4}{{((0) + 2)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4}{2^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = - \frac{4}{8}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (1)}{8}$

Étape 5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 2, 2)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 2, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = - \frac{4}{{((4) + 2)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Additionnez $4$ et $2$ .

$f'' (4) = - \frac{4}{6^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = - \frac{4}{216}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $216$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f'' (4) = - \frac{4 (1)}{216}$

Étape 6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $216$ .

$f'' (4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 54}$

Étape 6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (4) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 54}$

Étape 6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (4) = - \frac{1}{54}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{54}$ .

$- \frac{1}{54}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(2, \infty)$ car $f'' (4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 2, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le bas sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8