Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 4$ et $g (x) = 4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (4)) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((4 - x^{2}) x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.7

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.9

Multipliez.

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Étape 1.1.1.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + 1 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.9.2

Multipliez $x^{2} + 4$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + (x^{2} + 4) (2 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.11

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (4 - x^{2}) x + 2 \cdot ((x^{2} + 4) x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x + 2 (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x + (2 x^{2} + 2 \cdot 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.5.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.5.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.5.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 2 (- x^{3}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.3.5.1.4.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.3.5.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (4 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.1.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (x) = \frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.2

Associez les termes opposés dans $8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 8 x$ .

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Étape 1.1.1.3.5.2.1

Additionnez $- 2 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 0 + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.2.2

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.3

Additionnez $8 x$ et $8 x$ .

$f' (x) = \frac{16 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{16 x}{{(- x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1.3.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{16 x}{{(- x^{2} + 2^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.7.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{16 x}{{(2^{2} - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.7.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$f' (x) = \frac{16 x}{{((2 + x) (2 - x))}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.7.4

Appliquez la règle de produit à $(2 + x) (2 - x)$ .

$f' (x) = \frac{16 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{16 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}})$

Étape 1.1.2.2

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez ${(2 + x)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(2 + x)}^{2}$ et $g (x) = {(2 - x)}^{2}$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 - x)}^{2}) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 2 - x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 - x$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (2 - x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (2 - x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 - x$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (2 (2 - x) \frac{d}{d x} (2 - x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.6

Différenciez.

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Étape 1.1.2.6.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 + x)}^{2}$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 \cdot ({(2 + x)}^{2} (2 - x)) \frac{d}{d x} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.6.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.6.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} (- x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.6.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (- \frac{d}{d x} x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.6.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} x + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.6.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \cdot 1 + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.6.8

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} ({(2 + x)}^{2}))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 2 + x$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 + x$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 + x$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (2 (2 + x) \frac{d}{d x} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.8

Différenciez.

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Étape 1.1.2.8.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 - x)}^{2}$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 \cdot ({(2 - x)}^{2} (2 + x)) \frac{d}{d x} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.8.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} (x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.8.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) \frac{d}{d x} (x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.8.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) \cdot 1)}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.8.6

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.8.6.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 16 (\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.8.6.2

Associez $16$ et $\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Simplifiez

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Étape 1.1.2.9.1

Appliquez la règle de produit à ${(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x)) - x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}) + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.9.4.1

Factorisez $16 (2 + x) (2 - x)$ à partir de $16 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))$ .

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Étape 1.1.2.9.4.1.1

Factorisez $16 (2 + x) (2 - x)$ à partir de $16 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.1.2

Factorisez $16 (2 + x) (2 - x)$ à partir de $16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x)))$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.1.3

Factorisez $16 (2 + x) (2 - x)$ à partir de $16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.1.4

Factorisez $16 (2 + x) (2 - x)$ à partir de $16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x)))$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.1.5

Factorisez $16 (2 + x) (2 - x)$ à partir de $16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x)) - x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.2

Associez les exposants.

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Étape 1.1.2.9.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) + 2 x (2 + x) - x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.9.4.3.1

Développez $(2 + x) (2 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.9.4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 (2 - x) + x (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.2.9.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.9.4.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - x \cdot x + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.9.4.3.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 0 - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.2.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 x \cdot x - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x \cdot x - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.9.4.3.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 (x \cdot x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 2 x (- x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.7

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x (- x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot (- 1 x \cdot x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.9

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.9.4.3.9.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.9.4.3.9.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot (- 1 (x \cdot x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.9.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot (- 1 x^{2}))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.3.9.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.4

Associez les termes opposés dans $4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.9.4.4.1

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x^{2} + 0 + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.4.2

Additionnez $4 - x^{2} + 2 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x^{2} + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.5

Additionnez $- x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + x^{2} + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.4.6

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.5

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.9.5.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 + x)}^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.9.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{2 \cdot 2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.5.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.5.2

Multipliez les exposants dans ${({(2 - x)}^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.9.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.9.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Étape 1.1.2.9.5.3

Annulez le facteur commun à $2 + x$ et ${(2 + x)}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.9.5.3.1

Factorisez $2 + x$ à partir de $16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Étape 1.1.2.9.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.9.5.3.2.1

Factorisez $2 + x$ à partir de ${(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Étape 1.1.2.9.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Étape 1.1.2.9.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Étape 1.1.2.9.5.4

Annulez le facteur commun à $2 - x$ et ${(2 - x)}^{4}$ .

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Étape 1.1.2.9.5.4.1

Factorisez $2 - x$ à partir de $16 (2 - x) (4 + 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Étape 1.1.2.9.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.9.5.4.2.1

Factorisez $2 - x$ à partir de ${(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Étape 1.1.2.9.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Étape 1.1.2.9.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$ .

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$16 (4 + 3 x^{2}) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $16 (4 + 3 x^{2}) = 0$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $16 (4 + 3 x^{2}) = 0$ par $16$ .

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{16} = \frac{0}{16}$

Étape 1.2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 1.2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{16} = \frac{0}{16}$

Étape 1.2.3.1.2.1.2

Divisez $4 + 3 x^{2}$ par $1$ .

$4 + 3 x^{2} = \frac{0}{16}$

Étape 1.2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $16$ .

$4 + 3 x^{2} = 0$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = - 4$

Étape 1.2.3.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 1.2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 1.2.3.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{3}$

Étape 1.2.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Étape 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Étape 1.2.3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

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Étape 1.2.3.5.1

Réécrivez $- \frac{4}{3}$ comme $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

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Étape 1.2.3.5.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Étape 1.2.3.5.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Étape 1.2.3.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Étape 1.2.3.5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Étape 1.2.3.5.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.5.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.6

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 1.2.3.5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.5.7.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.3.5.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 1.2.3.5.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.3.5.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.2.3.5.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.5.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.5.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 1.2.3.5.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.5.8

Associez $i$ et $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 1.2.3.5.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 - x^{2} = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 4$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Étape 2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2, - 2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2, - 2}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 3 {(- 4)}^{2})}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 3 {(- 4)}^{2})}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 3 \cdot 16)}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 (4 + 48)}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $4$ et $48$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(2 - 4)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $4$ de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(2 - (- 4))}^{3}}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(2 + 4)}^{3}}$

Étape 4.2.3.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} \cdot 6^{3}}$

Étape 4.2.3.4

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{- 8 \cdot 6^{3}}$

Étape 4.2.3.5

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{16 \cdot 52}{- 8 \cdot 216}$

Étape 4.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $16$ par $52$ .

$f'' (- 4) = \frac{832}{- 8 \cdot 216}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $- 8$ par $216$ .

$f'' (- 4) = \frac{832}{- 1728}$

Étape 4.2.4.3

Annulez le facteur commun à $832$ et $- 1728$ .

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Étape 4.2.4.3.1

Factorisez $64$ à partir de $832$ .

$f'' (- 4) = \frac{64 (13)}{- 1728}$

Étape 4.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.4.3.2.1

Factorisez $64$ à partir de $- 1728$ .

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

Étape 4.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

Étape 4.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 4) = \frac{13}{- 27}$

Étape 4.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = - \frac{13}{27}$

Étape 4.2.5

La réponse finale est $- \frac{13}{27}$ .

$- \frac{13}{27}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ car $f'' (- 4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 2, 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 3 {(0)}^{2})}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 3 {(0)}^{2})}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 3 \cdot 0)}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 (4 + 0)}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{{(2 + 0)}^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(2 - (0))}^{3}}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(2 + 0)}^{3}}$

Étape 5.2.3.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{2^{3} \cdot 2^{3}}$

Étape 5.2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{8 \cdot 2^{3}}$

Étape 5.2.3.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = \frac{16 \cdot 4}{8 \cdot 8}$

Étape 5.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $16$ par $4$ .

$f'' (0) = \frac{64}{8 \cdot 8}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $8$ par $8$ .

$f'' (0) = \frac{64}{64}$

Étape 5.2.4.3

Divisez $64$ par $64$ .

$f'' (0) = 1$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 2, 2)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 2, 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 3 {(4)}^{2})}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 3 {(4)}^{2})}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 3 \cdot 16)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4 + 48)}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $4$ et $48$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{{(2 + 4)}^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Additionnez $2$ et $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{6^{3} {(2 - (4))}^{3}}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{6^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Étape 6.2.3.3

Soustrayez $4$ de $2$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{6^{3} {(- 2)}^{3}}$

Étape 6.2.3.4

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{216 {(- 2)}^{3}}$

Étape 6.2.3.5

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 52}{216 \cdot - 8}$

Étape 6.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Multipliez $16$ par $52$ .

$f'' (4) = \frac{832}{216 \cdot - 8}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $216$ par $- 8$ .

$f'' (4) = \frac{832}{- 1728}$

Étape 6.2.4.3

Annulez le facteur commun à $832$ et $- 1728$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.3.1

Factorisez $64$ à partir de $832$ .

$f'' (4) = \frac{64 (13)}{- 1728}$

Étape 6.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.3.2.1

Factorisez $64$ à partir de $- 1728$ .

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

Étape 6.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 13}{64 \cdot - 27}$

Étape 6.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (4) = \frac{13}{- 27}$

Étape 6.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (4) = - \frac{13}{27}$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- \frac{13}{27}$ .

$- \frac{13}{27}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(2, \infty)$ car $f'' (4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 2, 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8