Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}}]$

Étape 1.1.1.1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1 - x^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 - x^{\frac{1}{2}}] - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.8.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.13

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.14

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.16.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.18

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.19

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 + x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20

Simplifiez

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Étape 1.1.1.20.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 - x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (- 1 \cdot 1 - - x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.20.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.20.4.1.1

Multipliez $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.1.1.20.4.1.3.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.1.3.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.1.3.3

Annulez le facteur commun.

Étape 1.1.1.20.4.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.1.5

Réécrivez $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ comme $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.1.6

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.1.1.20.4.1.6.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- - x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.1.6.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- - 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- - 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 (\frac{1}{2})}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.1.8

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.2

Associez les termes opposés dans $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.1.20.4.2.1

Additionnez $- \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.2.2

Additionnez $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 1 - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.4

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.5

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.20.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.5

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.20.5.1

Réécrivez $\frac{- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ comme un produit.

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.1.20.5.2

Multipliez $\frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.20.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{1}{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$- (- {(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.4

Multipliez.

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Étape 1.1.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 ({(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2}$ par $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}] + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.7

Différenciez.

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Étape 1.1.2.7.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.7.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.7.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.12

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.2.12.1

Placez le signe moins devant la fraction.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.12.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (2 (1 + x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.12.3

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $2$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.12.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.12.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.12.4.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.12.5

Annulez le facteur commun.

Étape 1.1.2.12.6

Réécrivez l’expression.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}})) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.12.7

Associez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.12.8

Annulez le facteur commun.

Étape 1.1.2.12.9

Simplifiez

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Étape 1.1.2.12.9.1

Réécrivez l’expression.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 (1 + x^{\frac{1}{2}}) + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.12.9.2

Multipliez $1 + x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.14

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.15

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.17.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.17.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.18

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.2.18.1

Placez le signe moins devant la fraction.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.18.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.18.3

Associez ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.18.4

Simplifiez

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Étape 1.1.2.18.4.1

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (1 + x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.18.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.18.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.19

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

Étape 1.1.2.20

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.20.1

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ par $0$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 0$

Étape 1.1.2.20.2

Additionnez ${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ et $0$ .

${(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{- 2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.2.21

Simplifiez

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Étape 1.1.2.21.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.2.21.2

Appliquez la règle de produit à $x^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.2.21.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.21.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.21.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.2.21.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.21.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.2.21.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{1} {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.2.21.3.2

Simplifiez

$\frac{1}{x {({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.2.21.3.3

Multipliez les exposants dans ${({(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.21.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2 \cdot 2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.2.21.3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.2.21.4

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.21.5.1

Réécrivez ${(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ comme $(1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5.2

Développez $(1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.21.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 (1 + x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.2.21.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.21.5.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 1 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5.3.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5.3.1.3

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5.3.1.4

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.21.5.3.1.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5.3.1.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5.3.1.4.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5.3.1.4.4

Divisez $2$ par $2$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5.3.1.5

Simplifiez $x^{1}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5.3.2

Additionnez $x^{\frac{1}{2}}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5.4

Additionnez $2 x^{\frac{1}{2}}$ et $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 1 + x}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.6

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.7

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.21.9.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.21.9.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{2}{2}} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{1} + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.3

Simplifiez $2 x^{1}$ .

$\frac{2 x + x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.4

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$\frac{3 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.5

Réécrivez $3 x + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1$ en forme factorisée.

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Étape 1.1.2.21.9.5.1

Réécrivez $x$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.5.2

Laissez $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.5.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.2.21.9.5.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 1.1.2.21.9.5.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 u$ .

$\frac{3 u^{2} + 4 (u) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.5.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $1$ plus $3$

$\frac{3 u^{2} + (1 + 3) u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.5.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 u^{2} + 1 u + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.5.3.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$\frac{3 u^{2} + u + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.5.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.21.9.5.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 u^{2} + u) + 3 u + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.5.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{u (3 u + 1) + 1 (3 u + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.5.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u + 1$ .

$\frac{(3 u + 1) (u + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.9.5.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.10

Associez.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4})}$

Étape 1.1.2.21.11

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.21.11.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.11.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.1.2.21.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.11.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.11.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.12

Multipliez $(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ par $1$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.14

Factorisez $x^{\frac{1}{2}} + 1$ à partir de $(3 x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.21.15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.21.15.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}} + 1$ à partir de $2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{4}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3})}$

Étape 1.1.2.21.15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + 1)}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3})}$

Étape 1.1.2.21.15.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{\frac{1}{2}} = - 1$

Étape 1.2.3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.3.1.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 1.2.3.3.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 1.2.3.3.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 1.2.3.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 1.2.3.3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$9 x^{1} = {(- 1)}^{2}$

Étape 1.2.3.3.1.1.4

Simplifiez

$9 x = {(- 1)}^{2}$

Étape 1.2.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 x = 1$

Étape 1.2.3.4

Divisez chaque terme dans $9 x = 1$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.4.1

Divisez chaque terme dans $9 x = 1$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 1.2.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 1.2.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 1.2.3.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Étape 1.2.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

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Étape 2.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 2.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 + \sqrt{x} = 0$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{x} = - 1$

Étape 2.3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.3.2.1.2

Simplifiez

$x = {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = 1$

Étape 2.3.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $1 + \sqrt{x} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 2.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$[0, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $[0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2 {(2)}^{\frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2 {(2)}^{\frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Étape 4.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{1 + \frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Étape 4.2.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Étape 4.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{2 + 3}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Étape 4.2.1.4

Additionnez $2$ et $3$ .

$f'' (2) = \frac{3 {(2)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {({(2)}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

$f'' (2) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {(2^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {(2^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 1}{2^{\frac{5}{2}} {(2^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $[0, \infty)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $[0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5