Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 1$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $2 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((2 x - 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.10

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.10.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 (2 x) x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 (2 x) x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 2 x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) - 2 x + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - x) + 2 (1)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Étape 1.1.2.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{({(2 x - 1)}^{2})}^{2}})$

Étape 1.1.2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2 \cdot 2}})$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.3.8

Additionnez $2 x - 1$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.4

Multipliez ${(2 x - 1)}^{2}$ par $2 x - 1$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Multipliez ${(2 x - 1)}^{2}$ par $2 x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1.1

Élevez $2 x - 1$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2 + 1} - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.4.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (2 u \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.6.2

Factorisez $2 x - 1$ à partir de ${(2 x - 1)}^{3} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.6.2.1

Factorisez $2 x - 1$ à partir de ${(2 x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.6.2.2

Factorisez $2 x - 1$ à partir de $- 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} + (2 x - 1) (- 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.6.2.3

Factorisez $2 x - 1$ à partir de $(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} + (2 x - 1) (- 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Étape 1.1.2.7

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.7.1

Factorisez $2 x - 1$ à partir de ${(2 x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{3}})$

Étape 1.1.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{3}})$

Étape 1.1.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Étape 1.1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Étape 1.1.2.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Étape 1.1.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Étape 1.1.2.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Étape 1.1.2.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Étape 1.1.2.13

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.13.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Étape 1.1.2.13.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Étape 1.1.2.13.3

Associez $2$ et $\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x - 1)}^{2} - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 {(2 x - 1)}^{2} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.14.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.14.3.1.1

Réécrivez ${(2 x - 1)}^{2}$ comme $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x - 1) (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.2

Développez $(2 x - 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.14.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.14.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.14.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.14.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x + 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.14.3.1.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 2 (4 x) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.8

Multipliez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.9

Multipliez $2 (- 4 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.14.3.1.9.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.1.9.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.2

Associez les termes opposés dans $8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.14.3.2.1

Soustrayez $8 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x + 2 + 0 + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.2.2

Additionnez $- 8 x + 2$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x + 2 + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.2.3

Additionnez $- 8 x$ et $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2 - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.2.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.3.3

Soustrayez $8$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.14.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $6 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x - 1 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq \frac{1}{2}}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq \frac{1}{2}}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \frac{1}{2})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{6}{{(2 (0) - 1)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f'' (0) = - \frac{6}{{(0 - 1)}^{3}}$

Étape 4.2.1.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{6}{{(- 1)}^{3}}$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = - \frac{6}{- 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Divisez $6$ par $- 1$ .

$f'' (0) = 6$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$f'' (0) = 6$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $6$ .

$6$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, \frac{1}{2})$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, \frac{1}{2})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{1}{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = - \frac{6}{{(2 (3) - 1)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (3) = - \frac{6}{{(6 - 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$f'' (3) = - \frac{6}{5^{3}}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f'' (3) = - \frac{6}{125}$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $- \frac{6}{125}$ .

$- \frac{6}{125}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(\frac{1}{2}, \infty)$ car $f'' (3)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(\frac{1}{2}, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, \frac{1}{2})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(\frac{1}{2}, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7