Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 1.1.1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Étape 1.1.1.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$- 4 x^{- 5}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 1.1.1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{4}{x^{5}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Étape 1.1.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{5}}$ comme ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Étape 1.1.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Étape 1.1.2.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 5$ .

$- 4 (- 5 x^{- 6})$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$20 x^{- 6}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.1.2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{x^{6}}$

Étape 1.1.2.5.2

Associez $20$ et $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{x^{6}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{20}{x^{6}}$ .

$\frac{20}{x^{6}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{20}{x^{6}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{20}{x^{6}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$20 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $20 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{4} = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 2.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = \frac{20}{{(- 2)}^{6}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{20}{64}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun à $20$ et $64$ .

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 (5)}{64}$

Étape 4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Étape 4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Étape 4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 2) = \frac{5}{16}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\frac{5}{16}$ .

$\frac{5}{16}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ car $f'' (- 2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = \frac{20}{{(2)}^{6}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$f'' (2) = \frac{20}{64}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $20$ et $64$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$f'' (2) = \frac{4 (5)}{64}$

Étape 5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (2) = \frac{5}{16}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $\frac{5}{16}$ .

$\frac{5}{16}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, \infty)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7