Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ comme ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Étape 1.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Étape 1.1.1.3.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7))$

Étape 1.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Étape 1.1.1.3.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Étape 1.1.1.3.6

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + 0)$

Étape 1.1.1.3.7

Additionnez $2 x - 6$ et $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6)$

Étape 1.1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 x - 6)$

Étape 1.1.1.5

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$ .

$f' (x) = - (2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [(2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x - 6) (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}))$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 x - 6$ et $g (x) = \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.3

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ comme ${({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2 \cdot - 1}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.5.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.5.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.5.6

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 + 0)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.5.7

Additionnez $2 x - 6$ et $0$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.6

Élevez $2 x - 6$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} ((2 x - 6) (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.7

Élevez $2 x - 6$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} ((2 x - 6) (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{1 + 1} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Étape 1.1.2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Étape 1.1.2.11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Étape 1.1.2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Étape 1.1.2.13

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Étape 1.1.2.14

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 + 0))$

Étape 1.1.2.15

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.15.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot 2)$

Étape 1.1.2.15.2

Associez $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ et $2$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Étape 1.1.2.16

Pour écrire $- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Étape 1.1.2.17

Associez $- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2}$ et $\frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (\frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Étape 1.1.2.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.19

Multipliez ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3}$ par ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.19.1

Déplacez ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3}) {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2 - 3} {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.19.3

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1} {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x - 7$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 7$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 7, 1$

Étape 1.1.2.20.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f'' (x) = - \frac{- 2 \frac{1}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.4

Réécrivez ${(2 x - 6)}^{2}$ comme $(2 x - 6) (2 x - 6)$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot ((2 x - 6) (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.5

Développez $(2 x - 6) (2 x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x - 6) - 6 (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.2.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.2.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.6.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.6.1.4

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.6.1.5

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 12 x - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.6.1.6

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 12 x + 36) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.6.2

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 24 x + 36) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2}) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.2.8.1

Multipliez $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} (4 x^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.2.8.1.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.8.1.2

Associez $- 4$ et $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.8.1.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.8.1.4

Associez $\frac{- 8}{(x - 7) (x + 1)}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.8.2

Multipliez $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} (- 24 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.2.8.2.1

Multipliez $- 24$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + 24 (\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}) \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.8.2.2

Associez $24$ et $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{24 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.8.2.3

Multipliez $24$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.8.2.4

Associez $\frac{48}{(x - 7) (x + 1)}$ et $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.8.3

Multipliez $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.2.8.3.1

Multipliez $36$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - 36 \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.8.3.2

Associez $- 36$ et $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 36 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.8.3.3

Multipliez $- 36$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.9

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.2.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{(8) x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.2.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.3.1

Multipliez $\frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ par $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - (\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1)} \cdot \frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Étape 1.1.2.20.3.2

Associez.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) (\frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) \cdot 2}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.3.4

Annulez le facteur commun de $(x - 7) (x + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.3.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.1.2.20.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) \cdot 2}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $(x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{- (x - 7) (x + 1) \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.2

Annulez le facteur commun de $(x - 7) (x + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.4.2.1

Factorisez $(x - 7) (x + 1)$ à partir de $- (x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- 1) (\frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) \cdot (- 1 \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - (x - 7) (x + 1) \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.5

Annulez le facteur commun de $(x - 7) (x + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.4.5.1

Factorisez $(x - 7) (x + 1)$ à partir de $- (x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- 1) (\frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.5.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) \cdot (- 1 \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.5.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 1 \cdot 72 + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.6

Multipliez $- 1$ par $72$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + (2 x + 2 \cdot - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.8

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + (2 x - 14) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.9

Développez $(2 x - 14) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.4.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x (x + 1) - 14 (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 14 (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.4.10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.4.10.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.4.10.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.10.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.10.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.10.1.3

Multipliez $- 14$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x - 14 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.10.2

Soustrayez $14 x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} - 12 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.11

Additionnez $- 8 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 48 x - 72 - 12 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.12

Soustrayez $12 x$ de $48 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 36 x - 72 - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.13

Soustrayez $14$ de $- 72$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 36 x - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.14

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2} + 36 x - 86$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 36 x - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.14.2

Factorisez $2$ à partir de $36 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x) - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.14.3

Factorisez $2$ à partir de $- 86$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x) + 2 (- 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.14.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x) + 2 (- 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.4.14.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 x^{2} + 18 x) + 2 (- 43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.5.1

Factorisez $x^{2} - 6 x - 7$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.5.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 7$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 7, 1$

Étape 1.1.2.20.5.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {((x - 7) (x + 1))}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.5.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.5.3

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.5.3.1

Multipliez $x - 7$ par ${(x - 7)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.5.3.1.1

Déplacez ${(x - 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2} (x - 7) (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.5.3.1.2

Multipliez ${(x - 7)}^{2}$ par $x - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.5.3.1.2.1

Élevez $x - 7$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2} (x - 7) (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.5.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2 + 1} (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.5.3.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.20.5.3.2

Multipliez $x + 1$ par ${(x + 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.5.3.2.1

Déplacez ${(x + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}$

Étape 1.1.2.20.5.3.2.2

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.20.5.3.2.2.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}$

Étape 1.1.2.20.5.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{2 + 1}}$

Étape 1.1.2.20.5.3.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.20.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.20.7

Factorisez $- 1$ à partir de $18 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - (- 18 x) - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.20.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 18 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x) - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.20.9

Réécrivez $- 43$ comme $- 1 (43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x) - 1 \cdot 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.20.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 18 x) - 1 (43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x + 43))}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.20.11

Réécrivez $- (3 x^{2} - 18 x + 43)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 18 x + 43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 18 x + 43))}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.20.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.20.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}})$

Étape 1.1.2.20.14

Multipliez $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.1.2.1.2

Divisez $3 x^{2} - 18 x + 43$ par $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 43 = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$3 x^{2} - 18 x + 43 = 0$

Étape 1.2.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.3.3

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 18$ et $c = 43$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 43)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.4.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.4.1.3

Soustrayez $516$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.4.1.4

Réécrivez $- 192$ comme $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (192)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.4.1.7

Réécrivez $192$ comme $8^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.4.1.7.1

Factorisez $64$ à partir de $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.4.1.7.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.4.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 1.2.3.4.3

Simplifiez $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.5.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.5.1.3

Soustrayez $516$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.5.1.4

Réécrivez $- 192$ comme $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (192)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.5.1.7

Réécrivez $192$ comme $8^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.5.1.7.1

Factorisez $64$ à partir de $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.5.1.7.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.5.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 1.2.3.5.3

Simplifiez $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{9 + 4 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.6.1.1

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.6.1.3

Soustrayez $516$ de $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.6.1.4

Réécrivez $- 192$ comme $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (192)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.6.1.7

Réécrivez $192$ comme $8^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.6.1.7.1

Factorisez $64$ à partir de $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.6.1.7.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.6.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 1.2.3.6.3

Simplifiez $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{9 - 4 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{9 + 4 i \sqrt{3}}{3}, \frac{9 - 4 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x - 7$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 7$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 7, 1$

Étape 2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Étape 2.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.2.3

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 2.2.3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 2.2.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 7, - 1$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 1, 7}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 1, 7}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 {(- 4)}^{2} - 18 \cdot - 4 + 43)}{{((- 4) - 7)}^{3} {((- 4) + 1)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 \cdot 16 - 18 \cdot - 4 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 - 18 \cdot - 4 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 18$ par $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 + 72 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Étape 4.2.1.4

Additionnez $48$ et $72$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (120 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Étape 4.2.1.5

Additionnez $120$ et $43$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Soustrayez $7$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 11)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 11)}^{3} {(- 3)}^{3}}$

Étape 4.2.2.3

Élevez $- 11$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{- 1331 {(- 3)}^{3}}$

Étape 4.2.2.4

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{- 1331 \cdot - 27}$

Étape 4.2.3

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Multipliez $2$ par $163$ .

$f'' (- 4) = \frac{326}{- 1331 \cdot - 27}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $- 1331$ par $- 27$ .

$f'' (- 4) = \frac{326}{35937}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $\frac{326}{35937}$ .

$\frac{326}{35937}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 1, 7)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 43)}{{((0) - 7)}^{3} {((0) + 1)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 18 \cdot 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 18 \cdot 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 18$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.5

Additionnez $0$ et $43$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Soustrayez $7$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(- 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(- 7)}^{3} \cdot 1^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{- 343 \cdot 1^{3}}$

Étape 5.2.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{- 343 \cdot 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez $2$ par $43$ .

$f'' (0) = \frac{86}{- 343 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $- 343$ par $1$ .

$f'' (0) = \frac{86}{- 343}$

Étape 5.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = - \frac{86}{343}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- \frac{86}{343}$ .

$- \frac{86}{343}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 1, 7)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 1, 7)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(7, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f'' (10) = \frac{2 (3 {(10)}^{2} - 18 \cdot 10 + 43)}{{((10) - 7)}^{3} {((10) + 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 18$ par $10$ .

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 180 + 43)}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $- 180$ et $43$ .

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 137)}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.3

Convert $- 137$ to scientific notation.

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 1.37 \cdot 10^{2})}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.4

Factorisez $10^{2}$ à partir de $3 \cdot 10^{2} - 1.37 \cdot 10^{2}$ .

$f'' (10) = \frac{2 ((3 - 1.37) \cdot 10^{2})}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.5

Soustrayez $1.37$ de $3$ .

$f'' (10) = \frac{2 \cdot 1.63 \cdot 10^{2}}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $2$ par $1.63$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 10^{2}}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.7

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Soustrayez $7$ de $10$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{3^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $10$ et $1$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{3^{3} \cdot 11^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{27 \cdot 11^{3}}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $11$ à la puissance $3$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{27 \cdot 1331}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Multipliez $3.26$ par $100$ .

$f'' (10) = \frac{326}{27 \cdot 1331}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $27$ par $1331$ .

$f'' (10) = \frac{326}{35937}$

Étape 6.2.3.3

Annulez le facteur commun à $326$ et $35937$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.3.1

Réécrivez $326$ comme $1 (326)$ .

$f'' (10) = \frac{1 (326)}{35937}$

Étape 6.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.3.2.1

Réécrivez $35937$ comme $1 (35937)$ .

$f'' (10) = \frac{1 \cdot 326}{1 \cdot 35937}$

Étape 6.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (10) = \frac{1 \cdot 326}{1 \cdot 35937}$

Étape 6.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (10) = \frac{326}{35937}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{326}{35937}$ .

$\frac{326}{35937}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(7, \infty)$ car $f'' (10)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(7, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 1, 7)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(7, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8