Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{14} + 8 x^{2}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{14} + 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{14}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{14}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 14$ .

$14 x^{13} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$14 x^{13} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$14 x^{13} + 8 (2 x)$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$f' (x) = 14 x^{13} + 16 x$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $14 x^{13} + 16 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [14 x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [14 x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [14 x^{13}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x^{13}$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x^{13}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 13$ .

$14 (13 x^{12}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $13$ par $14$ .

$182 x^{12} + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$182 x^{12} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$182 x^{12} + 16 \cdot 1$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$f'' (x) = 182 x^{12} + 16$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $182 x^{12} + 16$ .

$182 x^{12} + 16$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $182 x^{12} + 16 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$182 x^{12} + 16 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$182 x^{12} = - 16$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $182 x^{12} = - 16$ par $182$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $182 x^{12} = - 16$ par $182$ .

$\frac{182 x^{12}}{182} = \frac{- 16}{182}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $182$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{182 x^{12}}{182} = \frac{- 16}{182}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{12}$ par $1$ .

$x^{12} = \frac{- 16}{182}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $182$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$x^{12} = \frac{2 (- 8)}{182}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $182$ .

$x^{12} = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 91}$

Étape 1.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{12} = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 91}$

Étape 1.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{12} = \frac{- 8}{91}$

Étape 1.2.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{12} = - \frac{8}{91}$

Étape 1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

Étape 1.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

Étape 1.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

Étape 1.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}, - \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 182 {(0)}^{12} + 16$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 182 \cdot 0 + 16$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $182$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 16$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $16$ .

$f'' (0) = 16$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $16$ .

$16$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ car $f'' (0)$ est positif.

Le graphe est concave vers le haut

Étape 5