Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{12} + 5 x^{2}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{12} + 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 12$ .

$12 x^{11} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{11} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{11} + 5 (2 x)$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (x) = 12 x^{11} + 10 x$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{11} + 10 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{11}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{11}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{11}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{11}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{11}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{11}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 11$ .

$12 (11 x^{10}) + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $11$ par $12$ .

$132 x^{10} + \frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$132 x^{10} + 10 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$132 x^{10} + 10 \cdot 1$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$f'' (x) = 132 x^{10} + 10$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $132 x^{10} + 10$ .

$132 x^{10} + 10$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $132 x^{10} + 10 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$132 x^{10} + 10 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$132 x^{10} = - 10$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $132 x^{10} = - 10$ par $132$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $132 x^{10} = - 10$ par $132$ .

$\frac{132 x^{10}}{132} = \frac{- 10}{132}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $132$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{132 x^{10}}{132} = \frac{- 10}{132}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{10}$ par $1$ .

$x^{10} = \frac{- 10}{132}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $132$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$x^{10} = \frac{2 (- 5)}{132}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $132$ .

$x^{10} = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 66}$

Étape 1.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{10} = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 66}$

Étape 1.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{10} = \frac{- 5}{66}$

Étape 1.2.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{10} = - \frac{5}{66}$

Étape 1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[10]{- \frac{5}{66}}$

Étape 1.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt[10]{- \frac{5}{66}}$ .

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{10}$ .

$x = \pm \sqrt[10]{i^{10} \frac{5}{66}}$

Étape 1.2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt[10]{\frac{5}{66}}$

Étape 1.2.5.3

Réécrivez $\sqrt[10]{\frac{5}{66}}$ comme $\frac{\sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}$

Étape 1.2.5.4

Associez $i$ et $\frac{\sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}, - \frac{i \sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 132 {(0)}^{10} + 10$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 132 \cdot 0 + 10$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $132$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 10$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $10$ .

$f'' (0) = 10$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $10$ .

$10$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ car $f'' (0)$ est positif.

Le graphe est concave vers le haut

Étape 5