Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{5}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x + 3)}^{5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}] + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \cdot 1) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.4.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} (2 x)$

Étape 1.1.1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 3)}^{5}$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{5} x$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Factorisez $x {(x + 3)}^{4}$ à partir de $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 {(x + 3)}^{5} x$ .

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Étape 1.1.1.4.1.1

Factorisez $x {(x + 3)}^{4}$ à partir de $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4})$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + 2 {(x + 3)}^{5} x$

Étape 1.1.1.4.1.2

Factorisez $x {(x + 3)}^{4}$ à partir de $2 {(x + 3)}^{5} x$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$

Étape 1.1.1.4.1.3

Factorisez $x {(x + 3)}^{4}$ à partir de $x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5) + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.1.4.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 (x + 3))$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 2 \cdot 3)]$

Étape 1.1.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 6)]$

Étape 1.1.2.1.2

Additionnez $5 x$ et $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (7 x + 6)]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x {(x + 3)}^{4}$ et $g (x) = 7 x + 6$ .

$x {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x + 6] + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez.

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Étape 1.1.2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$x {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Étape 1.1.2.3.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Étape 1.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Étape 1.1.2.3.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Étape 1.1.2.3.5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 + 0) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Étape 1.1.2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.3.6.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$x {(x + 3)}^{4} \cdot 7 + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Étape 1.1.2.3.6.2

Déplacez $7$ à gauche de $x {(x + 3)}^{4}$ .

$7 \cdot (x {(x + 3)}^{4}) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x + 3)}^{4}$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}] + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.6

Différenciez.

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Étape 1.1.2.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.6.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.6.4.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \cdot 1)$

Étape 1.1.2.6.6

Multipliez ${(x + 3)}^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = 7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Étape 1.2.2

Simplifiez $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ .

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Développez $(7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Étape 1.2.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Étape 1.2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.1.3.1.1

Déplacez $x$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 (x \cdot x) (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Étape 1.2.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x^{2} (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Étape 1.2.2.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 \cdot 4 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Étape 1.2.2.1.3.3

Multipliez $7$ par $4$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Étape 1.2.2.1.3.4

Multipliez $4$ par $6$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Étape 1.2.2.2

Additionnez $7 x {(x + 3)}^{4}$ et $7 x {(x + 3)}^{4}$ .

$14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $2 {(x + 3)}^{3}$ à partir de $14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4}$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Factorisez $2 {(x + 3)}^{3}$ à partir de $14 x {(x + 3)}^{4}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Étape 1.2.3.1.2

Factorisez $2 {(x + 3)}^{3}$ à partir de $28 x^{2} {(x + 3)}^{3}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Étape 1.2.3.1.3

Factorisez $2 {(x + 3)}^{3}$ à partir de $24 x {(x + 3)}^{3}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Étape 1.2.3.1.4

Factorisez $2 {(x + 3)}^{3}$ à partir de $6 {(x + 3)}^{4}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.1.5

Factorisez $2 {(x + 3)}^{3}$ à partir de $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2})$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.1.6

Factorisez $2 {(x + 3)}^{3}$ à partir de $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.1.7

Factorisez $2 {(x + 3)}^{3}$ à partir de $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3))$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.2

Factorisez $7 x$ à partir de $7 x (x + 3) + 14 x^{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Factorisez $7 x$ à partir de $14 x^{2}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 7 x (2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.2.2

Factorisez $7 x$ à partir de $7 x (x + 3) + 7 x (2 x)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3 + 2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.3

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 x + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.4

Factorisez.

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Étape 1.2.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3$ .

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Étape 1.2.3.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3 (1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x) + 3 (1)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x \cdot (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.5

Multipliez $3$ par $7$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.6

Factorisez $3$ à partir de $12 x + 3 (x + 3)$ .

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Étape 1.2.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x) + 3 (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.6.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (4 x) + 3 (x + 3)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x + x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.7

Additionnez $4 x$ et $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.8

Factorisez $3$ à partir de $21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)$ .

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Étape 1.2.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $21 x (x + 1)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.8.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1) + 5 x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x \cdot x + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.10

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.10.1

Déplacez $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.10.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.11

Multipliez $7$ par $1$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x + 5 x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.12

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.12.1

Additionnez $7 x$ et $5 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 {(x + 3)}^{3} \cdot (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

Étape 1.2.3.13

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$

Étape 1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

Étape 1.2.5

Définissez ${(x + 3)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez ${(x + 3)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez ${(x + 3)}^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.5.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.2.6

Définissez $7 x^{2} + 12 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $7 x^{2} + 12 x + 3$ égal à $0$ .

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez $7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 7$ , $b = 12$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 3)}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.2.3.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 28$ par $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.3.1.3

Soustrayez $84$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.3.1.4

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 1.2.6.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Étape 1.2.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Étape 1.2.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.2.4.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

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Étape 1.2.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 28$ par $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.4.1.3

Soustrayez $84$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.4.1.4

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 1.2.6.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Étape 1.2.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Étape 1.2.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 6 + \sqrt{15}}{7}$

Étape 1.2.6.2.4.5

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{15}}{7}$

Étape 1.2.6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{15})}{7}$

Étape 1.2.6.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (6 - \sqrt{15})}{7}$

Étape 1.2.6.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}$

Étape 1.2.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.2.5.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

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Étape 1.2.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 28$ par $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.5.1.3

Soustrayez $84$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.5.1.4

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 1.2.6.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Étape 1.2.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Étape 1.2.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Étape 1.2.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 6 - \sqrt{15}}{7}$

Étape 1.2.6.2.5.5

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{15}}{7}$

Étape 1.2.6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{15})}{7}$

Étape 1.2.6.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (6) - (\sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (6 + \sqrt{15})}{7}$

Étape 1.2.6.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Étape 1.2.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$ vraie.

$x = - 3, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = 7 (- 6) {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $7$ par $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 42 {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $- 6$ et $3$ .

$f'' (- 6) = - 42 {(- 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 6) = - 42 \cdot 81 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 42$ par $81$ .

$f'' (- 6) = - 3402 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $7$ par $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 3402 + (- 42 + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Étape 4.2.1.6

Additionnez $- 42$ et $6$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Étape 4.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.7.1

Additionnez $- 6$ et $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 {(- 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Étape 4.2.1.7.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 \cdot - 27) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Étape 4.2.1.7.3

Multipliez $- 6 (4 \cdot - 27)$ .

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Étape 4.2.1.7.3.1

Multipliez $4$ par $- 27$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 \cdot - 108 + {((- 6) + 3)}^{4})$

Étape 4.2.1.7.3.2

Multipliez $- 6$ par $- 108$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {((- 6) + 3)}^{4})$

Étape 4.2.1.7.4

Additionnez $- 6$ et $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {(- 3)}^{4})$

Étape 4.2.1.7.5

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + 81)$

Étape 4.2.1.8

Additionnez $648$ et $81$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 \cdot 729$

Étape 4.2.1.9

Multipliez $- 36$ par $729$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 26244$

Étape 4.2.2

Soustrayez $26244$ de $- 3402$ .

$f'' (- 6) = - 29646$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 29646$ .

$- 29646$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$ car $f'' (- 6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = 7 (- 2) {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 14 {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Étape 5.2.1.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Étape 5.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 14$ par $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 14 + (- 14 + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Étape 5.2.1.6

Additionnez $- 14$ et $6$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Étape 5.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.7.1

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Étape 5.2.1.7.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Étape 5.2.1.7.3

Multipliez $- 2 (4 \cdot 1)$ .

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Étape 5.2.1.7.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 \cdot 4 + {((- 2) + 3)}^{4})$

Étape 5.2.1.7.3.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + {((- 2) + 3)}^{4})$

Étape 5.2.1.7.4

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1^{4})$

Étape 5.2.1.7.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1)$

Étape 5.2.1.8

Additionnez $- 8$ et $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 \cdot - 7$

Étape 5.2.1.9

Multipliez $- 8$ par $- 7$ .

$f'' (- 2) = - 14 + 56$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 14$ et $56$ .

$f'' (- 2) = 42$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $42$ .

$42$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ car $f'' (- 2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f'' (- 1) = 7 (- 1) {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 7 {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 2^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Étape 6.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 16 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 7$ par $16$ .

$f'' (- 1) = - 112 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 112 + (- 7 + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Étape 6.2.1.6

Additionnez $- 7$ et $6$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Étape 6.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.7.1

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 2^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Étape 6.2.1.7.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 8) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Étape 6.2.1.7.3

Multipliez $- 1 (4 \cdot 8)$ .

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Étape 6.2.1.7.3.1

Multipliez $4$ par $8$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 \cdot 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

Étape 6.2.1.7.3.2

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

Étape 6.2.1.7.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 2^{4})$

Étape 6.2.1.7.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 16)$

Étape 6.2.1.8

Additionnez $- 32$ et $16$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 \cdot - 16$

Étape 6.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$f'' (- 1) = - 112 + 16$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 112$ et $16$ .

$f'' (- 1) = - 96$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 96$ .

$- 96$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ car $f'' (- 1)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 7 (0) {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Étape 7.2.1.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 3^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Étape 7.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 81 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $0$ par $81$ .

$f'' (0) = 0 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $7$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + (0 + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Étape 7.2.1.6

Additionnez $0$ et $6$ .

$f'' (0) = 0 + 6 ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Étape 7.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.7.1

Additionnez $0$ et $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 3^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Étape 7.2.1.7.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 27) + {((0) + 3)}^{4})$

Étape 7.2.1.7.3

Multipliez $0 (4 \cdot 27)$ .

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Étape 7.2.1.7.3.1

Multipliez $4$ par $27$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 \cdot 108 + {((0) + 3)}^{4})$

Étape 7.2.1.7.3.2

Multipliez $0$ par $108$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + {((0) + 3)}^{4})$

Étape 7.2.1.7.4

Additionnez $0$ et $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 3^{4})$

Étape 7.2.1.7.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 81)$

Étape 7.2.1.8

Additionnez $0$ et $81$ .

$f'' (0) = 0 + 6 \cdot 81$

Étape 7.2.1.9

Multipliez $6$ par $81$ .

$f'' (0) = 0 + 486$

Étape 7.2.2

Additionnez $0$ et $486$ .

$f'' (0) = 486$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $486$ .

$486$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9