Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{8 x^{2} + 8}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{8 x^{2} + 8}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{8 x^{2} + 8}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{8 x^{2} + 8}$ comme ${(8 x^{2} + 8)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} + 8)}^{- 1}]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 8 x^{2} + 8$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 8]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 8]$

Étape 2.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x^{2} + 8$ .

$- {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} \frac{d}{d x} [8 x^{2} + 8]$

Étape 2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$- {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.1.1.3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.1.1.3.4

Multipliez $2$ par $8$ .

$- {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} (16 x + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 2.1.1.3.5

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} (16 x + 0)$

Étape 2.1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.3.6.1

Additionnez $16 x$ et $0$ .

$- {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} (16 x)$

Étape 2.1.1.3.6.2

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$- 16 {(8 x^{2} + 8)}^{- 2} x$

Étape 2.1.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{{(8 x^{2} + 8)}^{2}} x$

Étape 2.1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Associez $- 16$ et $\frac{1}{{(8 x^{2} + 8)}^{2}}$ .

$\frac{- 16}{{(8 x^{2} + 8)}^{2}} x$

Étape 2.1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16}{{(8 x^{2} + 8)}^{2}} x$

Étape 2.1.1.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{16}{{(8 x^{2} + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 16}{{(8 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2.4

Déplacez $16$ à gauche de $x$ .

$- \frac{16 x}{{(8 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1.4.3.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{2} + 8$ .

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Étape 2.1.1.4.3.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{2}$ .

$- \frac{16 x}{{(8 (x^{2}) + 8)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3.1.2

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$- \frac{16 x}{{(8 (x^{2}) + 8 (1))}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3.1.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (x^{2}) + 8 (1)$ .

$- \frac{16 x}{{(8 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3.2

Appliquez la règle de produit à $8 (x^{2} + 1)$ .

$- \frac{16 x}{8^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- \frac{16 x}{64 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.4

Annulez le facteur commun à $16$ et $64$ .

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Étape 2.1.1.4.4.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x$ .

$- \frac{16 (x)}{64 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.4.4.2.1

Factorisez $16$ à partir de $64 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{16 (x)}{16 (4 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Étape 2.1.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{16 x}{16 (4 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Étape 2.1.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = - \frac{x}{4 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{4 {(x^{2} + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Étape 2.1.2.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.2.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.2.3

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.6.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.16

Multipliez $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3} \cdot 4}$

Étape 2.1.2.17

Déplacez $4$ à gauche de ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$- \frac{- 3 x^{2} + 1}{4 \cdot {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18

Simplifiez

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Étape 2.1.2.18.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{- (3 x^{2}) + 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- 1)}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (3 x^{2} - 1)}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.4

Réécrivez $- (3 x^{2} - 1)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{- 1 (3 x^{2} - 1)}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.2.18.7

Multipliez $\frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{3 x^{2} - 1}{4 {(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x^{2} - 1 = 0$

Étape 2.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 1$

Étape 2.2.3.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Étape 2.2.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 2.2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.2.3.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.3.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.3.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.3.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.3.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.2.3.4.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.2.3.4.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.2.3.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.2.3.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.2.3.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.3.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.3.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.3.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.3.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.3.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.2.3.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{8 x^{2} + 8}$ .

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{8 x^{2} + 8}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$8 x^{2} + 8 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$8 x^{2} = - 8$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $8 x^{2} = - 8$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $8 x^{2} = - 8$ par $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{- 8}{8}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{- 8}{8}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{8}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.3.1

Divisez $- 8$ par $8$ .

$x^{2} = - 1$

Étape 3.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 3.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 3.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 3.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = \frac{3 {(- 3)}^{2} - 1}{4 {({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 9 - 1}{4 {({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$f'' (- 3) = \frac{27 - 1}{4 {({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.1.3

Soustrayez $1$ de $27$ .

$f'' (- 3) = \frac{26}{4 {({(- 3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = \frac{26}{4 {(9 + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $9$ et $1$ .

$f'' (- 3) = \frac{26}{4 \cdot 10^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{26}{4 \cdot 1000}$

Étape 5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez $4$ par $1000$ .

$f'' (- 3) = \frac{26}{4000}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun à $26$ et $4000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $26$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 (13)}{4000}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4000$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 2000}$

Étape 5.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 2000}$

Étape 5.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 3) = \frac{13}{2000}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $\frac{13}{2000}$ .

$\frac{13}{2000}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (- 3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2} - 1}{4 {({(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0 - 1}{4 {(0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 - 1}{4 {(0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 1}{4 {(0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 1}{4 {(0 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f'' (0) = \frac{- 1}{4 \cdot 1^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (0) = \frac{- 1}{4 \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (0) = \frac{- 1}{4}$

Étape 6.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = - \frac{1}{4}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = \frac{3 {(3)}^{2} - 1}{4 {({(3)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f'' (3) = \frac{3 \cdot 3^{2} - 1}{4 {(3^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (3) = \frac{3^{1 + 2} - 1}{4 {(3^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (3) = \frac{3^{3} - 1}{4 {(3^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (3) = \frac{27 - 1}{4 {(3^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.3

Soustrayez $1$ de $27$ .

$f'' (3) = \frac{26}{4 {(3^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = \frac{26}{4 {(9 + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $9$ et $1$ .

$f'' (3) = \frac{26}{4 \cdot 10^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f'' (3) = \frac{26}{4 \cdot 1000}$

Étape 7.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Multipliez $4$ par $1000$ .

$f'' (3) = \frac{26}{4000}$

Étape 7.2.3.2

Annulez le facteur commun à $26$ et $4000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $26$ .

$f'' (3) = \frac{2 (13)}{4000}$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4000$ .

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 2000}$

Étape 7.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (3) = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 2000}$

Étape 7.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (3) = \frac{13}{2000}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $\frac{13}{2000}$ .

$\frac{13}{2000}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9