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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Étape 2.1
Déterminez la dérivée seconde.
Étape 2.1.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 2.1.1.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 2.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est où =.
Étape 2.1.1.3
Différenciez.
Étape 2.1.1.3.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.3.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.3.3
Additionnez et .
Étape 2.1.1.4
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est où =.
Étape 2.1.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.1.1.5.1
Déplacez .
Étape 2.1.1.5.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.1.5.3
Additionnez et .
Étape 2.1.1.6
Simplifiez
Étape 2.1.1.6.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.1.6.2
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.1.1.6.2.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.1.1.6.2.1.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.1.6.2.1.2
Additionnez et .
Étape 2.1.1.6.2.2
Associez les termes opposés dans .
Étape 2.1.1.6.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 2.1.1.6.2.2.2
Additionnez et .
Étape 2.1.2
Déterminez la dérivée seconde.
Étape 2.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 2.1.2.3
Multipliez les exposants dans .
Étape 2.1.2.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.4
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est où =.
Étape 2.1.2.5
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.1.2.5.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.1.2.5.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.2.5.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.1.2.6
Différenciez.
Étape 2.1.2.6.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.6.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.6.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.6.4
Additionnez et .
Étape 2.1.2.7
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est où =.
Étape 2.1.2.8
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.2.9
Additionnez et .
Étape 2.1.2.10
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.10.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.10.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.10.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.11
Annulez les facteurs communs.
Étape 2.1.2.11.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.11.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.2.11.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.2.12
Associez et .
Étape 2.1.2.13
Simplifiez
Étape 2.1.2.13.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.2.13.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.2.13.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.1.2.13.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.1.2.13.3.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.13.3.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 2.1.2.13.3.1.2.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.2.13.3.1.2.2
Additionnez et .
Étape 2.1.2.13.3.1.3
Multipliez par .
Étape 2.1.2.13.3.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.2.13.4
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.1.2.13.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.13.4.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.13.4.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.13.4.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.13.4.2
Réécrivez comme .
Étape 2.1.2.13.4.3
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.1.2.13.4.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.13.4.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.13.4.4.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.13.4.4.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.13.4.5
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.1.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 2.2
Définissez la dérivée seconde égale à puis résolvez l’équation .
Étape 2.2.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 2.2.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 2.2.3
Résolvez l’équation pour .
Étape 2.2.3.1
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 2.2.3.2
Définissez égal à et résolvez .
Étape 2.2.3.2.1
Définissez égal à .
Étape 2.2.3.2.2
Résolvez pour .
Étape 2.2.3.2.2.1
Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.
Étape 2.2.3.2.2.2
L’équation ne peut pas être résolue car est indéfini.
Indéfini
Étape 2.2.3.2.2.3
Il n’y a pas de solution pour
Aucune solution
Aucune solution
Aucune solution
Étape 2.2.3.3
Définissez égal à et résolvez .
Étape 2.2.3.3.1
Définissez égal à .
Étape 2.2.3.3.2
Résolvez pour .
Étape 2.2.3.3.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 2.2.3.3.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 2.2.3.3.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 2.2.3.3.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 2.2.3.3.2.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 2.2.3.3.2.2.2.2
Divisez par .
Étape 2.2.3.3.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 2.2.3.3.2.2.3.1
Divisez par .
Étape 2.2.3.3.2.3
Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.
Étape 2.2.3.3.2.4
Développez le côté gauche.
Étape 2.2.3.3.2.4.1
Développez en déplaçant hors du logarithme.
Étape 2.2.3.3.2.4.2
Le logarithme naturel de est .
Étape 2.2.3.3.2.4.3
Multipliez par .
Étape 2.2.3.4
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 3
Étape 3.1
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 3.2
Résolvez .
Étape 3.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 3.2.2
Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.
Étape 3.2.3
L’équation ne peut pas être résolue car est indéfini.
Indéfini
Étape 3.2.4
Il n’y a pas de solution pour
Aucune solution
Aucune solution
Étape 3.3
Le domaine est l’ensemble des nombres réels.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 4
Créez des intervalles autour des valeurs où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.
Étape 5
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Étape 5.2.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 5.2.1.1
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 5.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.1.3
Soustrayez de .
Étape 5.2.1.4
Multipliez par .
Étape 5.2.1.5
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 5.2.2
Simplifiez le dénominateur.
Étape 5.2.2.1
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 5.2.2.2
Additionnez et .
Étape 5.2.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.3
Multipliez par .
Étape 5.2.4
La réponse finale est .
Étape 5.3
Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle car est positif.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 6
Étape 6.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 6.2
La réponse finale est .
Étape 6.3
Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle car est négatif.
Concave vers le bas sur car est négatif
Concave vers le bas sur car est négatif
Étape 7
Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le bas sur car est négatif
Étape 8