Calcul infinitésimal Exemples

Déterminer la concavité (e^x)/(6+e^x)
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Find the values where the second derivative is equal to .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Déterminez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 2.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est =.
Étape 2.1.1.3
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.3.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.3.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.3.3
Additionnez et .
Étape 2.1.1.4
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est =.
Étape 2.1.1.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.5.1
Déplacez .
Étape 2.1.1.5.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.1.5.3
Additionnez et .
Étape 2.1.1.6
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.6.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.1.6.2
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.6.2.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.6.2.1.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.1.6.2.1.2
Additionnez et .
Étape 2.1.1.6.2.2
Associez les termes opposés dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1.6.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 2.1.1.6.2.2.2
Additionnez et .
Étape 2.1.2
Déterminez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 2.1.2.3
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 2.1.2.4
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est =.
Étape 2.1.2.5
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.5.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.1.2.5.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.1.2.5.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.1.2.6
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.6.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.6.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.6.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.2.6.4
Additionnez et .
Étape 2.1.2.7
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est =.
Étape 2.1.2.8
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.2.9
Additionnez et .
Étape 2.1.2.10
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.10.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.10.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.10.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.11
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.11.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.11.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.2.11.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.2.12
Associez et .
Étape 2.1.2.13
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.13.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.2.13.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.1.2.13.3
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.13.3.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.13.3.1.1
Multipliez par .
Étape 2.1.2.13.3.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.13.3.1.2.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.1.2.13.3.1.2.2
Additionnez et .
Étape 2.1.2.13.3.1.3
Multipliez par .
Étape 2.1.2.13.3.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.2.13.4
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.13.4.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.13.4.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.13.4.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.13.4.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.13.4.2
Réécrivez comme .
Étape 2.1.2.13.4.3
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.1.2.13.4.4
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.13.4.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.13.4.4.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.13.4.4.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.13.4.5
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.1.3
La dérivée seconde de par rapport à est .
Étape 2.2
Définissez la dérivée seconde égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Définissez la dérivée seconde égale à .
Étape 2.2.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 2.2.3
Résolvez l’équation pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.1
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 2.2.3.2
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.2.1
Définissez égal à .
Étape 2.2.3.2.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.2.2.1
Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.
Étape 2.2.3.2.2.2
L’équation ne peut pas être résolue car est indéfini.
Indéfini
Étape 2.2.3.2.2.3
Il n’y a pas de solution pour
Aucune solution
Aucune solution
Aucune solution
Étape 2.2.3.3
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.3.1
Définissez égal à .
Étape 2.2.3.3.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.3.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 2.2.3.3.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.3.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 2.2.3.3.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.3.2.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 2.2.3.3.2.2.2.2
Divisez par .
Étape 2.2.3.3.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.3.2.2.3.1
Divisez par .
Étape 2.2.3.3.2.3
Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.
Étape 2.2.3.3.2.4
Développez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.3.3.2.4.1
Développez en déplaçant hors du logarithme.
Étape 2.2.3.3.2.4.2
Le logarithme naturel de est .
Étape 2.2.3.3.2.4.3
Multipliez par .
Étape 2.2.3.4
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 3
Déterminez le domaine de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 3.2
Résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 3.2.2
Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.
Étape 3.2.3
L’équation ne peut pas être résolue car est indéfini.
Indéfini
Étape 3.2.4
Il n’y a pas de solution pour
Aucune solution
Aucune solution
Étape 3.3
Le domaine est l’ensemble des nombres réels.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 4
Créez des intervalles autour des valeurs où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.
Étape 5
Remplacez tout nombre du premier intervalle dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1.1
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 5.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.1.3
Soustrayez de .
Étape 5.2.1.4
Multipliez par .
Étape 5.2.1.5
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 5.2.2
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.2.1
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 5.2.2.2
Additionnez et .
Étape 5.2.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.3
Multipliez par .
Étape 5.2.4
La réponse finale est .
Étape 5.3
Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle car est positif.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le haut sur car est positif
Étape 6
Remplacez tout nombre du premier intervalle dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 6.2
La réponse finale est .
Étape 6.3
Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle car est négatif.
Concave vers le bas sur car est négatif
Concave vers le bas sur car est négatif
Étape 7
Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.
Concave vers le haut sur car est positif
Concave vers le bas sur car est négatif
Étape 8