Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \ln (x)$

Étape 1

Écrivez $y = x \ln (x)$ comme une fonction.

$f (x) = x \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Étape 2.1.3.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Étape 2.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{1}{x} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 3.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion