Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + \cos (2 x)$

Étape 1

Écrivez $y = x + \cos (2 x)$ comme une fonction.

$f (x) = x + \cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2.1.2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f' (x) = 1 - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 2.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 2.1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \cdot 2$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (2 x)$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Étape 2.2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.2.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Étape 2.2.2.7

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

Étape 2.2.3

Soustrayez $4 \cos (2 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \cos (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x)$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 \cos (2 x) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 4 \cos (2 x) = 0$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- 4 \cos (2 x) = 0$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \cos (2 x) = 0$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $0$ par $- 4$ .

$\cos (2 x) = 0$

Étape 3.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (0)$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.5.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.5.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.5.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 3.6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 3.7

Résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez

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Étape 3.7.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.7.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.7.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.7.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.7.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 3.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 3.7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 3.7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.7.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.8

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 3.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.8.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 3.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.8.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.9

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{π}{4}$ dans $f (x) = x + \cos (2 x)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{4}))$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Étape 4.1.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Étape 4.1.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 4.1.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{4}$ et $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4}$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{π}{4}$ dans $f (x) = x + \cos (2 x)$ est $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{4})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.68539816$ dans l’expression.

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (2 (0.68539816))$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $0.68539816$ .

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (1.37079632)$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $- 4 \cos (1.37079632)$ .

$- 4 \cos (1.37079632)$

Étape 6.3

Sur $0.68539816$ , la dérivée seconde est $- 0.79467732$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{4})$

Diminue sur $(- \infty, \frac{π}{4})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{π}{4}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.88539816$ dans l’expression.

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (2 (0.88539816))$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $2$ par $0.88539816$ .

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (1.77079632)$

Étape 7.2.2

La réponse finale est $- 4 \cos (1.77079632)$ .

$- 4 \cos (1.77079632)$

Étape 7.3

Sur $0.88539816$ , la dérivée seconde est $0.79467732$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{π}{4}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{π}{4}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Étape 9