Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{5} + x^{3} - 2$

Étape 1

Écrivez $y = x^{5} + x^{3} - 2$ comme une fonction.

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + x^{3} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $5 x^{4} + 3 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} + 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 x^{3} + 3 (2 x)$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 6 x$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $20 x^{3} + 6 x$ .

$20 x^{3} + 6 x$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $20 x^{3} + 6 x = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$20 x^{3} + 6 x = 0$

Étape 3.2

Factorisez $2 x$ à partir de $20 x^{3} + 6 x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $20 x^{3}$ .

$2 x (10 x^{2}) + 6 x = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x$ .

$2 x (10 x^{2}) + 2 x (3) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (10 x^{2}) + 2 x (3)$ .

$2 x (10 x^{2} + 3) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$10 x^{2} + 3 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $10 x^{2} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $10 x^{2} + 3$ égal à $0$ .

$10 x^{2} + 3 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $10 x^{2} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$10 x^{2} = - 3$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $10 x^{2} = - 3$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $10 x^{2} = - 3$ par $10$ .

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{10}$

Étape 3.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{3}{10}$

Étape 3.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$

Étape 3.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$ .

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Étape 3.5.2.4.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{10}}$

Étape 3.5.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{10}}$

Étape 3.5.2.4.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{10}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

Étape 3.5.2.4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Étape 3.5.2.4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.2.4.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Étape 3.5.2.4.5.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Étape 3.5.2.4.5.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Étape 3.5.2.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Étape 3.5.2.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 3.5.2.4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 3.5.2.4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.5.2.4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.5.2.4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.2.4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.2.4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Étape 3.5.2.4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10}$

Étape 3.5.2.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.4.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 10}}{10}$

Étape 3.5.2.4.6.2

Multipliez $3$ par $10$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{30}}{10}$

Étape 3.5.2.4.7

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{30}}{10}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Étape 3.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Étape 3.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Étape 3.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (10 x^{2} + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{5} + {(0)}^{3} - 2$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} - 2$

Étape 4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f (0) = - 2$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ est $(0, - 2)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, - 2)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3} + 6 (- 0.1)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001 + 6 (- 0.1)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $20$ par $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 + 6 (- 0.1)$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 0.6$

Étape 6.2.2

Soustrayez $0.6$ de $- 0.02$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.62$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 0.62$ .

$- 0.62$

Étape 6.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $- 0.62$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, 0)$

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3} + 6 (0.1)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001 + 6 (0.1)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $20$ par $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 6 (0.1)$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $6$ par $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 0.6$

Étape 7.2.2

Additionnez $0.02$ et $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.62$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0.62$ .

$0.62$

Étape 7.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $0.62$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(0, - 2)$ .

$(0, - 2)$

Étape 9