Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{5} \ln (x)$

Étape 1

Écrivez $y = x^{5} \ln (x)$ comme une fonction.

$f (x) = x^{5} \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1.3.1

Associez $x^{5}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.1.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.1.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.1.3.2.2.5

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

Étape 2.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.2.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 2.2.2.5

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 2.2.2.6

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 2.2.2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 2.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 2.2.2.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 2.2.2.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 2.2.2.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 2.2.2.6.2.5

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 5 (\ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 2.2.3.2

Associez des termes.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 20 (\ln (x) (x^{3}))$

Étape 2.2.3.2.2

Additionnez $4 x^{3}$ et $5 x^{3}$ .

$9 x^{3} + 20 \ln (x) x^{3}$

Étape 2.2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$ .

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $9 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ par $20 x^{3}$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ par $20 x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Étape 3.3.2.2.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Étape 3.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) = \frac{- 9}{20}$

Étape 3.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (x) = - \frac{9}{20}$

Étape 3.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{9}{20}}$

Étape 3.5

Réécrivez $\ln (x) = - \frac{9}{20}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{9}{20}} = x$

Étape 3.6

Résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- \frac{9}{20}}$ .

$x = e^{- \frac{9}{20}}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ dans $f (x) = x^{5} \ln (x)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})}^{5} \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1^{5}}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Étape 4.1.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Étape 4.1.2.3

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{9}{20}})}^{5}$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{20} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Étape 4.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.1.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 (4)} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Étape 4.1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 \cdot 4} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Étape 4.1.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Étape 4.1.2.4

Placez $e^{\frac{9}{20}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (e^{- \frac{9}{20}})$

Étape 4.1.2.5

Développez $\ln (e^{- \frac{9}{20}})$ en déplaçant $- \frac{9}{20}$ hors du logarithme.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot \ln (e))$

Étape 4.1.2.6

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot 1)$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20})$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $\frac{1}{e^{\frac{9}{4}}}$ par $\frac{9}{20}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{e^{\frac{9}{4}} \cdot 20}$

Étape 4.1.2.9

Déplacez $20$ à gauche de $e^{\frac{9}{4}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

Étape 4.1.2.10

La réponse finale est $- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$ .

$- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ dans $f (x) = x^{5} \ln (x)$ est $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.53762815$ dans l’expression.

$f'' (0.53762815) = 9 {(0.53762815)}^{3} + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $0.53762815$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.53762815) = 9 \cdot 0.1553982 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $9$ par $0.1553982$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Étape 6.2.1.3

Élevez $0.53762815$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 \cdot (0.1553982 \ln (0.53762815))$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $20$ par $0.1553982$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 3.10796414 \ln (0.53762815)$

Étape 6.2.1.5

Simplifiez $3.10796414 \ln (0.53762815)$ en déplaçant $3.10796414$ dans le logarithme.

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln ({0.53762815}^{3.10796414})$

Étape 6.2.1.6

Élevez $0.53762815$ à la puissance $3.10796414$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln (0.14532747)$

Étape 6.2.2

Additionnez $1.39858386$ et $\ln (0.14532747)$ .

$f'' (0.53762815) = - 0.53018177$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 0.53018177$ .

$- 0.53018177$

Étape 6.3

Sur $0.53762815$ , la dérivée seconde est $- 0.53018177$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Diminue sur $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.73762815$ dans l’expression.

$f'' (0.73762815) = 9 {(0.73762815)}^{3} + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.73762815$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.73762815) = 9 \cdot 0.40134 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $9$ par $0.40134$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Étape 7.2.1.3

Élevez $0.73762815$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 \cdot (0.40134 \ln (0.73762815))$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $20$ par $0.40134$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 8.02680006 \ln (0.73762815)$

Étape 7.2.1.5

Simplifiez $8.02680006 \ln (0.73762815)$ en déplaçant $8.02680006$ dans le logarithme.

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln ({0.73762815}^{8.02680006})$

Étape 7.2.1.6

Élevez $0.73762815$ à la puissance $8.02680006$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln (0.08692764)$

Étape 7.2.2

Additionnez $3.61206002$ et $\ln (0.08692764)$ .

$f'' (0.73762815) = 1.16938082$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $1.16938082$ .

$1.16938082$

Étape 7.3

Sur $0.73762815$ , la dérivée seconde est $1.16938082$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

Étape 9