Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 1

Écrivez $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.1.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Étape 2.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Étape 2.1.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Étape 2.1.4.2.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Étape 2.1.4.2.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$f' (x) = \sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 2.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (1) - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sin (x)$ .

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

Étape 3.3.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

Étape 3.3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x)) = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez.

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Étape 3.3.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Étape 3.3.2.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 3.3.2.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Étape 3.3.2.1.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Étape 3.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Étape 3.3.2.1.2.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Étape 3.3.2.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.2.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Étape 3.3.2.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Étape 3.3.2.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Étape 3.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 3.5

Définissez $- 2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $- 2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 3.5.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 3.5.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 3.5.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 3.5.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 3.5.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 3.5.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 3.5.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 3.5.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 3.5.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.6.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 3.5.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 3.5.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.5.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.5.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.5.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.6

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $\sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 1$

Étape 3.6.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 3.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 3.6.2.4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 3.6.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.6.2.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 3.6.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.6.2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.6.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.6.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.6.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.6.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.6.2.7

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.6.2.7.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 3.6.2.7.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.6.2.7.3

Associez les fractions.

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Étape 3.6.2.7.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.6.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.6.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.7.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.6.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 3.6.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.6.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{π}{6}$ dans $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Étape 4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Étape 4.1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Étape 4.1.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{4}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Étape 4.1.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4 - 3}{4}$

Étape 4.1.2.2.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{π}{6}$ dans $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ est $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{6})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.42359877$ dans l’expression.

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (2 (0.42359877)) - 2 \sin (0.42359877)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $0.42359877$ .

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$ .

$2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

Étape 6.3

Sur $0.42359877$ , la dérivée seconde est $0.50208433$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{6})$ .

Augmente sur $(- \infty, \frac{π}{6})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{π}{6}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.62359877$ dans l’expression.

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (2 (0.62359877)) - 2 \sin (0.62359877)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $2$ par $0.62359877$ .

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

Étape 7.2.2

La réponse finale est $2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$ .

$2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

Étape 7.3

Sur $0.62359877$ , la dérivée seconde est $- 0.53195951$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\frac{π}{6}, \infty)$

Diminue sur $(\frac{π}{6}, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

Étape 9