Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (x) + \cos (x)$

Étape 1

Écrivez $y = \sin (x) + \cos (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Étape 2.1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 2.2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x) - \cos (x)$ .

$- \sin (x) - \cos (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.3

Séparez les fractions.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.5

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.6.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3.7

Séparez les fractions.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 3.9

Divisez $0$ par $1$ .

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Étape 3.10

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = 0$

Étape 3.11

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- \tan (x) = 1$

Étape 3.12

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.12.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 3.12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.12.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 3.12.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Étape 3.12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.12.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Étape 3.13

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 3.14

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.14.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 3.15

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 3.16

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.16.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 3.16.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.17

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 3.17.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.17.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.17.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.17.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.18

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.18.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 3.18.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.18.3

Associez les fractions.

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Étape 3.18.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.18.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 3.18.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.18.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 3.18.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 3.18.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.19

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{3 π}{4}$ dans $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.1.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.1.2.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Étape 4.1.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Étape 4.1.2.2.3

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{3 π}{4}$ dans $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ est $(\frac{3 π}{4}, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

Étape 4.3

Remplacez $\frac{3 π}{4}$ dans $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.3.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 4.3.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Étape 4.3.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3.2.2.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Étape 4.3.2.2.3

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $\frac{3 π}{4}$ dans $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ est $(\frac{3 π}{4}, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{3 π}{4}) \cup (\frac{3 π}{4}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2.25619449$ dans l’expression.

$f'' (2.25619449) = - \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

Étape 6.2

La réponse finale est $- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$ .

$- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

Étape 6.3

Sur $2.25619449$ , la dérivée seconde est $- 0.14118577$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, \frac{3 π}{4})$

Diminue sur $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.45619449$ dans l’expression.

$f'' (2.45619449) = - \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

Étape 7.2

La réponse finale est $- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$ .

$- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

Étape 7.3

Sur $2.45619449$ , la dérivée seconde est $0.14118577$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$ .

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

Étape 9