Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (x^{2} + 1)$

Étape 1

Écrivez $y = \ln (x^{2} + 1)$ comme une fonction.

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 2.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Étape 2.1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Étape 2.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 2.1.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

Étape 2.1.2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

Étape 2.1.2.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 1} \cdot x$

Étape 2.1.2.4.3

Associez $\frac{2}{x^{2} + 1}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 2.2.3

Différenciez.

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Étape 2.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $x^{2} + 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 2.2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 2.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 2.2.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 2.2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 2.2.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 2.2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 2.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 2.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 2.2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 2.2.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Étape 2.2.9

Associez $2$ et $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.10

Simplifiez

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Étape 2.2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.10.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} = - 2$

Étape 3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 2$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 2$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Étape 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 3.3.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $1$ dans $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 1)$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $1$ dans $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ est $(1, \ln (2))$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1, \ln (2))$

Étape 4.3

Remplacez $- 1$ dans $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \ln ({(- 1)}^{2} + 1)$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = \ln (1 + 1)$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 1) = \ln (2)$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- 1$ dans $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ est $(- 1, \ln (2))$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 1, \ln (2))$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(1, \ln (2)), (- 1, \ln (2))$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.1$ dans l’expression.

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 {(- 1.1)}^{2} + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $- 2.42$ et $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $- 1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $1.21$ et $1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $2.21$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Étape 6.2.3

Divisez $- 0.42$ par $4.8841$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.08599332$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Étape 6.3

Sur $- 1.1$ , la dérivée seconde est $- 0.08599332$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$

Diminue sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Additionnez $0$ et $2$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

Étape 7.2.3

Divisez $2$ par $1$ .

$f'' (0) = 2$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 7.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $2$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 1, 1)$ .

Augmente sur $(- 1, 1)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1.1$ dans l’expression.

$f'' (1.1) = \frac{- 2 {(1.1)}^{2} + 2}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 8.2.1.3

Additionnez $- 2.42$ et $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Élevez $1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $1.21$ et $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $2.21$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Étape 8.2.3

Divisez $- 0.42$ par $4.8841$ .

$f'' (1.1) = - 0.08599332$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Étape 8.3

Sur $1.1$ , la dérivée seconde est $- 0.08599332$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(1, \infty)$

Diminue sur $(1, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$ .

$(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$

Étape 10