Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 5 x - \frac{35}{x}$

Étape 1

Écrivez $y = - 5 x - \frac{35}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = - 5 x - \frac{35}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x - \frac{35}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{35}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{35}{x}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{35}{x}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{35}{x}]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 5 + \frac{d}{d x} [- \frac{35}{x}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{35}{x}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 35$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{35}{x}$ par rapport à $x$ est $- 35 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 5 - 35 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- 5 - 35 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 5 - 35 (- x^{- 2})$

Étape 2.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 35$ .

$- 5 + 35 x^{- 2}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 + 35 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.1.4.2

Associez $35$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 5 + \frac{35}{x^{2}}$

Étape 2.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{35}{x^{2}} - 5$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{35}{x^{2}} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{35}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{35}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{35}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $35$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{35}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $35 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$35 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$35 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$35 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$35 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$35 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$35 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$35 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$35 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$35 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$35 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$35 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$35 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.2.10

Multipliez $- 2$ par $35$ .

$- 70 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.2.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 70 x^{- 3} + 0$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 70 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Étape 2.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.2.4.2.1

Associez $- 70$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 70}{x^{3}} + 0$

Étape 2.2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{70}{x^{3}} + 0$

Étape 2.2.4.2.3

Additionnez $- \frac{70}{x^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{70}{x^{3}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{70}{x^{3}}$ .

$- \frac{70}{x^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{70}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{70}{x^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$70 = 0$

Étape 3.3

Comme $70 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion