Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{1 - x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x}{1 - x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.2

Multipliez $1 - x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.7

Multipliez.

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Étape 2.1.1.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1 - x^{2} + x (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.7

Additionnez $- x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.2.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.2.5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = - x^{2} + 1$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4

Différenciez.

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Étape 2.1.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.4.7.1

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.7.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + 4 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez

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Étape 2.1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.5.3.1.1

Réécrivez ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 ((- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.2

Développez $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.5.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.5.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.3.1.4

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.3.1.6

Multipliez $- x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.3.1.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{4} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.2.5.3.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{4} x - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.7

Simplifiez

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Étape 2.1.2.5.3.1.7.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.5.3.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 2.1.2.5.3.1.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.5.3.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.2.5.3.1.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.5.3.1.9.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.5.3.1.9.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.9.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.2.5.3.1.9.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x^{1} x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{1 + 2} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.9.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.9.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.10

Développez $(4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.5.3.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3} + x) + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.5.3.1.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.5.3.1.11.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.11.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.5.3.1.11.1.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.11.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.11.1.2.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.11.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.11.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.5.3.1.11.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x^{1} x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.11.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.11.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.11.2

Soustrayez $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 0 + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.1.11.3

Additionnez $- 4 x^{5}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.2

Soustrayez $4 x^{5}$ de $2 x^{5}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3.3

Additionnez $2 x$ et $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.5.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x$ .

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Étape 2.1.2.5.4.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (- x^{4}) - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ .

$\frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)$ .

$\frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$\frac{2 x (- u^{2} - 2 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.5.4.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 2.1.2.5.4.4.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 u$ .

$\frac{2 x (- u^{2} - 2 (u) + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.4.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $1$ plus $- 3$

$\frac{2 x (- u^{2} + (1 - 3) u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (- u^{2} + 1 u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.4.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$\frac{2 x (- u^{2} + u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.5.4.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 x ((- u^{2} + u) - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (u (- u + 1) + 3 (- u + 1))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u + 1$ .

$\frac{2 x ((- u + 1) (u + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{2 x ((- x^{2} + 1) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 x ((- x^{2} + 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.7

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$\frac{2 x ((1^{2} - x^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.5.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.5.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1^{2} - x^{2})}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{((1 + x) (1 - x))}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.5.4

Appliquez la règle de produit à $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.6

Annulez le facteur commun à $1 + x$ et ${(1 + x)}^{4}$ .

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Étape 2.1.2.5.6.1

Factorisez $1 + x$ à partir de $2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.5.6.2.1

Factorisez $1 + x$ à partir de ${(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}$ .

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

Étape 2.1.2.5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

Étape 2.1.2.5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.7

Annulez le facteur commun à $1 - x$ et ${(1 - x)}^{4}$ .

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Étape 2.1.2.5.7.1

Factorisez $1 - x$ à partir de $(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.5.7.2.1

Factorisez $1 - x$ à partir de ${(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}$ .

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

Étape 2.1.2.5.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

Étape 2.1.2.5.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x (x^{2} + 3) = 0$

Étape 2.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Étape 2.2.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.3.3

Définissez $x^{2} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.3.1

Définissez $x^{2} + 3$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Étape 2.2.3.3.2

Résolvez $x^{2} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.3.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 3$

Étape 2.2.3.3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 2.2.3.3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 2.2.3.3.2.3.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 2.2.3.3.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 2.2.3.3.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.2.3.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.3.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{3}$

Étape 2.2.3.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 2.2.3.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 2.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x^{2} + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{1 - x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 - x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Étape 3.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 3.2.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 3.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 3.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 3.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 1, - 1}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 1, - 1}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 + 4)}^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} \cdot 5^{3}}$

Étape 5.2.2.4

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 5^{3}}$

Étape 5.2.2.5

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 125}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (16 + 3)}{- 27 \cdot 125}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $16$ et $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 27 \cdot 125}$

Étape 5.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $- 27$ par $125$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 3375}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $- 8$ par $19$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 152}{- 3375}$

Étape 5.2.4.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f'' (- 4) = \frac{152}{3375}$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $\frac{152}{3375}$ .

$\frac{152}{3375}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.5$ dans l’expression.

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Soustrayez $0.5$ de $1$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 + 0.5)}^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $1$ et $0.5$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} \cdot {1.5}^{3}}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot {1.5}^{3}}$

Étape 6.2.2.5

Élevez $1.5$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1

Élevez $- 0.5$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 (0.25 + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

Étape 6.2.3.2

Additionnez $0.25$ et $3$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.125 \cdot 3.375}$

Étape 6.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Multipliez $0.125$ par $3.375$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.421875}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $3.25$ .

$f'' (- 0.5) = \frac{- 3.25}{0.421875}$

Étape 6.2.4.3

Divisez $- 3.25$ par $0.421875$ .

$f'' (- 0.5) = - 7.\overline{703}$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- 7.\overline{703}$ .

$- 7.\overline{703}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 1, 0)$ car $f'' (- 0.5)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 1, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.5$ dans l’expression.

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1

Multipliez $2$ par $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{1 ({0.5}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Multipliez ${0.5}^{2} + 3$ par $1$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.3.1

Additionnez $1$ et $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0.5$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - 0.5)}^{3}}$

Étape 7.2.3.3

Soustrayez $0.5$ de $1$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} \cdot {0.5}^{3}}$

Étape 7.2.3.4

Élevez $1.5$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot {0.5}^{3}}$

Étape 7.2.3.5

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

Étape 7.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.4.1

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.5) = \frac{0.25 + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

Étape 7.2.4.2

Additionnez $0.25$ et $3$ .

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{3.375 \cdot 0.125}$

Étape 7.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.5.1

Multipliez $3.375$ par $0.125$ .

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{0.421875}$

Étape 7.2.5.2

Divisez $3.25$ par $0.421875$ .

$f'' (0.5) = 7.\overline{703}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est $7.\overline{703}$ .

$7.\overline{703}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, 1)$ car $f'' (0.5)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - 4)}^{3}}$

Étape 8.2.2.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(- 3)}^{3}}$

Étape 8.2.2.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 {(- 3)}^{3}}$

Étape 8.2.2.5

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 \cdot - 27}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (16 + 3)}{125 \cdot - 27}$

Étape 8.2.3.2

Additionnez $16$ et $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{125 \cdot - 27}$

Étape 8.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.4.1

Multipliez $125$ par $- 27$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{- 3375}$

Étape 8.2.4.2

Multipliez $8$ par $19$ .

$f'' (4) = \frac{152}{- 3375}$

Étape 8.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (4) = - \frac{152}{3375}$

Étape 8.2.5

La réponse finale est $- \frac{152}{3375}$ .

$- \frac{152}{3375}$

Étape 8.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(1, \infty)$ car $f'' (4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 9

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 1, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(0, 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 10