Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{x^{2} + 27}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x}{x^{2} + 27}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 27}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 27$ .

$\frac{(x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 27) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.2

Multipliez $x^{2} + 27$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.5

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.7

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.8

Simplifiez

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Étape 2.1.1.8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.8.2

Réécrivez $27$ comme $- 1 (- 27)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- 27)$ .

$\frac{- (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.8.4

Réécrivez $- (x^{2} - 27)$ comme $- 1 (x^{2} - 27)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.1.8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}] + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.2

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{({(x^{2} + 27)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3

Différenciez.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 27)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 27]) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.4

Comme $- 27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 27)}^{2}$ .

$- \frac{2 \cdot {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 27$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 27$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (2 (x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.5

Différenciez.

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Étape 2.1.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x + \frac{d}{d x} [27]))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.5.4

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.5.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.5.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 27$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) (2 \cdot (x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.5.5.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2.5.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.1.2.5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.5.7.1

Multipliez $\frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$ par $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + 0$

Étape 2.1.2.5.7.2

Additionnez $- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$ et $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6

Simplifiez

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Étape 2.1.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.6.3.1.1

Réécrivez ${(x^{2} + 27)}^{2}$ comme $(x^{2} + 27) (x^{2} + 27)$ .

$- \frac{2 ((x^{2} + 27) (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.2

Développez $(x^{2} + 27) (x^{2} + 27)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (x^{2} (x^{2} + 27) + 27 (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 27 + 27 (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.6.3.1.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.6.3.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \frac{2 (x^{4} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.3.1.2

Déplacez $27$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{2 (x^{4} + 27 \cdot x^{2} + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.3.1.3

Multipliez $27$ par $27$ .

$- \frac{2 (x^{4} + 27 x^{2} + 27 x^{2} + 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.3.2

Additionnez $27 x^{2}$ et $27 x^{2}$ .

$- \frac{2 (x^{4} + 54 x^{2} + 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(2 x^{4} + 2 (54 x^{2}) + 2 \cdot 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.2.6.3.1.5.1

Multipliez $54$ par $2$ .

$- \frac{(2 x^{4} + 108 x^{2} + 2 \cdot 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.5.2

Multipliez $2$ par $729$ .

$- \frac{(2 x^{4} + 108 x^{2} + 1458) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 x^{4} x + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.7

Simplifiez

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Étape 2.1.2.6.3.1.7.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.6.3.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{2 (x \cdot x^{4}) + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 2.1.2.6.3.1.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 (x^{1} x^{4}) + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x^{1 + 4} + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.6.3.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 (x \cdot x^{2}) + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.6.3.1.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 (x^{1} x^{2}) + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{1 + 2} + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.8

Multipliez $- 4$ par $- 27$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.9

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.6.3.1.9.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.1.2.6.3.1.9.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2} x^{1} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2 + 1} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.9.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.10

Développez $(- 4 x^{2} + 108) (x^{3} + 27 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.6.3.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} (x^{3} + 27 x) + 108 (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (27 x) + 108 (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.6.3.1.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.6.3.1.11.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.6.3.1.11.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.11.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.11.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.11.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{2} x + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.11.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.6.3.1.11.1.3.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 (x \cdot x^{2}) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 (x^{1} x^{2}) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{1 + 2} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.11.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{3} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.11.1.4

Multipliez $- 4$ par $27$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 108 x^{3} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.11.1.5

Multipliez $27$ par $108$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 108 x^{3} + 108 x^{3} + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.11.2

Additionnez $- 108 x^{3}$ et $108 x^{3}$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} + 0 + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.1.11.3

Additionnez $- 4 x^{5}$ et $0$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.2

Soustrayez $4 x^{5}$ de $2 x^{5}$ .

$- \frac{- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.3.3

Additionnez $1458 x$ et $2916 x$ .

$- \frac{- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.6.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 4374 x$ .

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Étape 2.1.2.6.4.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{5}$ .

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 108 x^{3} + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $108 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2}) + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $4374 x$ .

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2}) + 2 x (2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2})$ .

$- \frac{2 x (- x^{4} + 54 x^{2}) + 2 x (2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x^{4} + 54 x^{2}) + 2 x (2187)$ .

$- \frac{2 x (- x^{4} + 54 x^{2} + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} + 54 x^{2} + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- \frac{2 x (- u^{2} + 54 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.6.4.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 2187 = - 2187$ et dont la somme est $b = 54$ .

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Étape 2.1.2.6.4.4.1.1

Factorisez $54$ à partir de $54 u$ .

$- \frac{2 x (- u^{2} + 54 (u) + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.4.1.2

Réécrivez $54$ comme $- 27$ plus $81$

$- \frac{2 x (- u^{2} + (- 27 + 81) u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 x (- u^{2} - 27 u + 81 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.6.4.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \frac{2 x ((- u^{2} - 27 u) + 81 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- \frac{2 x (u (- u - 27) - 81 (- u - 27))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u - 27$ .

$- \frac{2 x ((- u - 27) (u - 81))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- \frac{2 x ((- x^{2} - 27) (x^{2} - 81))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.6

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$- \frac{2 x ((- x^{2} - 27) (x^{2} - 9^{2}))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.4.7

Factorisez.

$- \frac{2 x (- x^{2} - 27) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.5

Annulez le facteur commun à $- x^{2} - 27$ et ${(x^{2} + 27)}^{4}$ .

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Étape 2.1.2.6.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- \frac{2 x (- (x^{2}) - 27) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.5.2

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$- \frac{2 x (- (x^{2}) - 1 (27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (27)$ .

$- \frac{2 x (- (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.5.4

Réécrivez $- (x^{2} + 27)$ comme $- 1 (x^{2} + 27)$ .

$- \frac{2 x (- 1 (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.5.5

Factorisez $x^{2} + 27$ à partir de $2 x (- 1 (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)$ .

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6.5.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.6.5.6.1

Factorisez $x^{2} + 27$ à partir de ${(x^{2} + 27)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{(x^{2} + 27) {(x^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 2.1.2.6.5.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{(x^{2} + 27) {(x^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 2.1.2.6.5.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{(2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 2.1.2.6.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{- 2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 2.1.2.6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{(2 x (x + 9)) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 2.1.2.6.8

Multipliez $- - \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ .

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Étape 2.1.2.6.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 2.1.2.6.8.2

Multipliez $\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x (x + 9) (x - 9) = 0$

Étape 2.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 9 = 0$

$x - 9 = 0$

Étape 2.2.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.3.3

Définissez $x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.3.1

Définissez $x + 9$ égal à $0$ .

$x + 9 = 0$

Étape 2.2.3.3.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 2.2.3.4

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.4.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 2.2.3.4.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 2.2.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x + 9) (x - 9) = 0$ vraie.

$x = 0, - 9, 9$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 27}$ .

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{x^{2} + 27}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 27 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $27$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 27$

Étape 3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 27}$

Étape 3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 27}$ .

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Étape 3.2.3.1

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (27)}$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{27}$

Étape 3.2.3.4

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.2.3.4.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}$

Étape 3.2.3.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Étape 3.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{3})$

Étape 3.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{3}$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i \sqrt{3}$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i \sqrt{3}$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 9) \cup (9, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 9)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 12$ dans l’expression.

$f'' (- 12) = \frac{2 (- 12) ((- 12) + 9) ((- 12) - 9)}{{({(- 12)}^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{{({(- 12)}^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{{(144 + 27)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $144$ et $27$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{171^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $171$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{5000211}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Additionnez $- 12$ et $9$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 \cdot (- 3 (- 12 - 9))}{5000211}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $- 24$ par $- 3$ .

$f'' (- 12) = \frac{72 (- 12 - 9)}{5000211}$

Étape 5.2.3.3

Soustrayez $9$ de $- 12$ .

$f'' (- 12) = \frac{72 \cdot - 21}{5000211}$

Étape 5.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Multipliez $72$ par $- 21$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 1512}{5000211}$

Étape 5.2.4.2

Annulez le facteur commun à $- 1512$ et $5000211$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1

Factorisez $27$ à partir de $- 1512$ .

$f'' (- 12) = \frac{27 (- 56)}{5000211}$

Étape 5.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.2.1

Factorisez $27$ à partir de $5000211$ .

$f'' (- 12) = \frac{27 \cdot - 56}{27 \cdot 185193}$

Étape 5.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 12) = \frac{27 \cdot - 56}{27 \cdot 185193}$

Étape 5.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 12) = \frac{- 56}{185193}$

Étape 5.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 12) = - \frac{56}{185193}$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $- \frac{56}{185193}$ .

$- \frac{56}{185193}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 9)$ car $f'' (- 12)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 9)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 9, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ((- 4) + 9) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{{(16 + 27)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $16$ et $27$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{43^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $43$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{79507}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Additionnez $- 4$ et $9$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot (5 (- 4 - 9))}{79507}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 40 (- 4 - 9)}{79507}$

Étape 6.2.3.3

Soustrayez $9$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 40 \cdot - 13}{79507}$

Étape 6.2.4

Multipliez $- 40$ par $- 13$ .

$f'' (- 4) = \frac{520}{79507}$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $\frac{520}{79507}$ .

$\frac{520}{79507}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 9, 0)$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 9, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 9)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ((4) + 9) ((4) - 9)}{{({(4)}^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{{(4^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{{(16 + 27)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $16$ et $27$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{43^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $43$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{79507}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Additionnez $4$ et $9$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot (13 (4 - 9))}{79507}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $8$ par $13$ .

$f'' (4) = \frac{104 (4 - 9)}{79507}$

Étape 7.2.3.3

Soustrayez $9$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{104 \cdot - 5}{79507}$

Étape 7.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Multipliez $104$ par $- 5$ .

$f'' (4) = \frac{- 520}{79507}$

Étape 7.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (4) = - \frac{520}{79507}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $- \frac{520}{79507}$ .

$- \frac{520}{79507}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, 9)$ car $f'' (4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, 9)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(9, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $12$ dans l’expression.

$f'' (12) = \frac{2 (12) ((12) + 9) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $12$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{{(12^{2} + 27)}^{3}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{{(144 + 27)}^{3}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $144$ et $27$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{171^{3}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $171$ à la puissance $3$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{5000211}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Additionnez $12$ et $9$ .

$f'' (12) = \frac{24 \cdot (21 (12 - 9))}{5000211}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $24$ par $21$ .

$f'' (12) = \frac{504 (12 - 9)}{5000211}$

Étape 8.2.3.3

Soustrayez $9$ de $12$ .

$f'' (12) = \frac{504 \cdot 3}{5000211}$

Étape 8.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.1

Multipliez $504$ par $3$ .

$f'' (12) = \frac{1512}{5000211}$

Étape 8.2.4.2

Annulez le facteur commun à $1512$ et $5000211$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.2.1

Factorisez $27$ à partir de $1512$ .

$f'' (12) = \frac{27 (56)}{5000211}$

Étape 8.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.2.2.1

Factorisez $27$ à partir de $5000211$ .

$f'' (12) = \frac{27 \cdot 56}{27 \cdot 185193}$

Étape 8.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (12) = \frac{27 \cdot 56}{27 \cdot 185193}$

Étape 8.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (12) = \frac{56}{185193}$

Étape 8.2.5

La réponse finale est $\frac{56}{185193}$ .

$\frac{56}{185193}$

Étape 8.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(9, \infty)$ car $f'' (12)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(9, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 9)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 9, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(0, 9)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(9, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 10