Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{2} (x)$

Étape 1

Écrivez $\sin^{2} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Étape 2.1.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.1.1.3.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 2.1.1.3.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Étape 2.1.1.3.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 2.1.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Étape 2.1.2.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 \cos (2 x) = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$2 \cos (2 x) = 0$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Étape 2.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (0)$

Étape 2.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Étape 2.2.5

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.2.5.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.2.5.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.5.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 2.2.6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 2.2.7

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.7.1

Simplifiez

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Étape 2.2.7.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.2.7.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.2.7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.2.7.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.2.7.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.2.7.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.7.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.2.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.2.7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.2.7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.2.7.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.2.7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.7.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.2.8

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 2.2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.2.8.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 2.2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.2.8.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.2.9

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.2.10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 2 \cos (2 (0))$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f'' (0) = 2 \cos (0)$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f'' (0) = 2 \cdot 1$

Étape 5.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (0) = 2$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6