Calcul infinitésimal Exemples

$- e^{x} (x - 5)$

Étape 1

Écrivez $- e^{x} (x - 5)$ comme une fonction.

$f (x) = - e^{x} (x - 5)$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x} (x - 5)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 5)]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 5)]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - 5$ .

$- (e^{x} \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- (e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 2.1.1.3.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (e^{x} (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 2.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- (e^{x} \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 2.1.1.3.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$- (e^{x} + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- (e^{x} + (x - 5) e^{x})$

Étape 2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (e^{x} + x e^{x} - 5 e^{x})$

Étape 2.1.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- e^{x} - (x e^{x}) - (- 5 e^{x})$

Étape 2.1.1.5.3

Associez des termes.

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Étape 2.1.1.5.3.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$- e^{x} - x e^{x} + 5 e^{x}$

Étape 2.1.1.5.3.2

Additionnez $- e^{x}$ et $5 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 4 e^{x}$

Étape 2.1.1.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{x} x + 4 e^{x}$

Étape 2.1.1.5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{x} x + 4 e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 4 e^{x}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x e^{x} + 4 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Étape 2.1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Étape 2.1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Étape 2.1.2.2.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$- (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- (x e^{x} + e^{x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- (x e^{x} + e^{x}) + 4 e^{x}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez

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Étape 2.1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (x e^{x}) - e^{x} + 4 e^{x}$

Étape 2.1.2.4.2

Additionnez $- e^{x}$ et $4 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 2.1.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{x} x + 3 e^{x}$

Étape 2.1.2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f'' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- x e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + 3 e^{x} = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $3 e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3 = 0$

Étape 2.2.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3$ .

$e^{x} (- x + 3) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.2.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.2.5

Définissez $- x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $- x + 3$ égal à $0$ .

$- x + 3 = 0$

Étape 2.2.5.2

Résolvez $- x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 2.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.2.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.5.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (- x + 3) = 0$ vraie.

$x = 3$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} + 3 e^{0}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 3 e^{0}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3 e^{0}$

Étape 5.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3 \cdot 1$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3$

Étape 5.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$f'' (0) = 3$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 3)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = - 6 \cdot e^{6} + 3 e^{6}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Additionnez $- 6 e^{6}$ et $3 e^{6}$ .

$f'' (6) = - 3 e^{6}$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $- 3 e^{6}$ .

$- 3 e^{6}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(3, \infty)$ car $f'' (6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8