Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{4} - 256$ .

$\frac{(x^{4} - 256) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 256]}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{(x^{4} - 256) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 256]}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4} - 256$ .

$\frac{4 \cdot (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 256]}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 256$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256]$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256])}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 256])}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.5

Comme $- 256$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 256$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.2.6.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (4 x^{3})}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 x^{4} x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.3.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 (x^{3} x^{4})}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 x^{3 + 4}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x^{4} + 4 \cdot - 256) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.3.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1.4.3.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{3 + 4} + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3.1.1.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{4 x^{7} + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3.1.2

Multipliez $4$ par $- 256$ .

$\frac{4 x^{7} - 1024 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{7} - 1024 x^{3} - 4 x^{7}$ .

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Étape 2.1.1.4.3.2.1

Soustrayez $4 x^{7}$ de $4 x^{7}$ .

$\frac{- 1024 x^{3} + 0}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.3.2.2

Additionnez $- 1024 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{- 1024 x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{1024 x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 1024$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1024 x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 1024 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}]$ .

$- 1024 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}]$

Étape 2.1.2.2

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{({(x^{4} - 256)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{4} - 256)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.3.3

Déplacez $3$ à gauche de ${(x^{4} - 256)}^{2}$ .

$- 1024 \frac{3 \cdot {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{4} - 256$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} - 256$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} - 256$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 (x^{4} - 256) \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5

Différenciez.

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Étape 2.1.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 256$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256]$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256]))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 256]))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.4

Comme $- 256$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 256$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.5.5.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (4 x^{3}))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.5.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4} - 256$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} (4 \cdot (x^{4} - 256) x^{3})}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.5.5.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{3} ((x^{4} - 256) x^{3})}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{3 + 3} (x^{4} - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.7

Additionnez $3$ et $3$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.8

Associez $- 1024$ et $\frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$ .

$\frac{- 1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.10.3.1.1

Réécrivez ${(x^{4} - 256)}^{2}$ comme $(x^{4} - 256) (x^{4} - 256)$ .

$- \frac{1024 (3 ((x^{4} - 256) (x^{4} - 256)) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.2

Développez $(x^{4} - 256) (x^{4} - 256)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.10.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1024 (3 (x^{4} (x^{4} - 256) - 256 (x^{4} - 256)) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1024 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 256 - 256 (x^{4} - 256)) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1024 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 256 - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.10.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.10.3.1.3.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.10.3.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1024 (3 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot - 256 - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.3.1.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} + x^{4} \cdot - 256 - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.3.1.2

Déplacez $- 256$ à gauche de $x^{4}$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} - 256 \cdot x^{4} - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.3.1.3

Multipliez $- 256$ par $- 256$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} - 256 x^{4} - 256 x^{4} + 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.3.2

Soustrayez $256 x^{4}$ de $- 256 x^{4}$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} - 512 x^{4} + 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1024 ((3 x^{8} + 3 (- 512 x^{4}) + 3 \cdot 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.2.10.3.1.5.1

Multipliez $- 512$ par $3$ .

$- \frac{1024 ((3 x^{8} - 1536 x^{4} + 3 \cdot 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.5.2

Multipliez $3$ par $65536$ .

$- \frac{1024 ((3 x^{8} - 1536 x^{4} + 196608) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1024 (3 x^{8} x^{2} - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.7

Simplifiez

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Étape 2.1.2.10.3.1.7.1

Multipliez $x^{8}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.10.3.1.7.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{2} x^{8}) - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1024 (3 x^{2 + 8} - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.7.1.3

Additionnez $2$ et $8$ .

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.7.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.10.3.1.7.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 (x^{2} x^{4}) + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 x^{2 + 4} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.7.2.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 x^{6} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1024 (3 x^{10}) + 1024 (- 1536 x^{6}) + 1024 (196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.10.3.1.9.1

Multipliez $3$ par $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} + 1024 (- 1536 x^{6}) + 1024 (196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.9.2

Multipliez $- 1536$ par $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 1024 (196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.9.3

Multipliez $196608$ par $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.10

Multipliez $x^{6}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.10.3.1.10.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 (x^{4} x^{6})) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 x^{4 + 6}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.10.3

Additionnez $4$ et $6$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 x^{10}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.11

Multipliez $- 8$ par $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} - 8192 x^{10} + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.12

Multipliez $- 256$ par $- 8$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} - 8192 x^{10} + 1024 (2048 x^{6})}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.1.13

Multipliez $2048$ par $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} - 8192 x^{10} + 2097152 x^{6}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.2

Soustrayez $8192 x^{10}$ de $3072 x^{10}$ .

$- \frac{- 5120 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 2097152 x^{6}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.3.3

Additionnez $- 1572864 x^{6}$ et $2097152 x^{6}$ .

$- \frac{- 5120 x^{10} + 524288 x^{6} + 201326592 x^{2}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.10.4.1

Factorisez $1024 x^{2}$ à partir de $- 5120 x^{10} + 524288 x^{6} + 201326592 x^{2}$ .

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Étape 2.1.2.10.4.1.1

Factorisez $1024 x^{2}$ à partir de $- 5120 x^{10}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 524288 x^{6} + 201326592 x^{2}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.1.2

Factorisez $1024 x^{2}$ à partir de $524288 x^{6}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 1024 x^{2} (512 x^{4}) + 201326592 x^{2}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.1.3

Factorisez $1024 x^{2}$ à partir de $201326592 x^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 1024 x^{2} (512 x^{4}) + 1024 x^{2} (196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.1.4

Factorisez $1024 x^{2}$ à partir de $1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 1024 x^{2} (512 x^{4})$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8} + 512 x^{4}) + 1024 x^{2} (196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.1.5

Factorisez $1024 x^{2}$ à partir de $1024 x^{2} (- 5 x^{8} + 512 x^{4}) + 1024 x^{2} (196608)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8} + 512 x^{4} + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.2

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{4})}^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 {(x^{4})}^{2} + 512 x^{4} + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.3

Laissez $u = x^{4}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{4}$ par $u$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} + 512 u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.2.10.4.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 5 \cdot 196608 = - 983040$ et dont la somme est $b = 512$ .

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Étape 2.1.2.10.4.4.1.1

Factorisez $512$ à partir de $512 u$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} + 512 (u) + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.4.1.2

Réécrivez $512$ comme $- 768$ plus $1280$

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} + (- 768 + 1280) u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} - 768 u + 1280 u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.10.4.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 u^{2} - 768 u) + 1280 u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- \frac{1024 x^{2} (u (- 5 u - 768) - 256 (- 5 u - 768))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 5 u - 768$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 u - 768) (u - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) (x^{4} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.6

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) ({(x^{2})}^{2} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.7

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) ({(x^{2})}^{2} - 16^{2}))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 16$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) ((x^{2} + 16) (x^{2} - 16)))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.4.9

Factorisez.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.10.5.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{({(x^{2})}^{2} - 256)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.2

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{({(x^{2})}^{2} - 16^{2})}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 16$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x^{2} - 16))}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.4

Simplifiez

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Étape 2.1.2.10.5.4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x^{2} - 4^{2}))}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4))}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.5

Appliquez la règle de produit à $(x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.6

Développez $(x^{2} + 16) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.10.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} (x + 4) + 16 (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 16 (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.10.5.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.10.5.7.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.1.2.10.5.7.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.7.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.7.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.7.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{3} + 4 \cdot x^{2} + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.7.3

Multipliez $16$ par $4$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 64)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.8

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.10.5.8.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{3} + 4 x^{2}) + 16 x + 64)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} (x + 4) + 16 (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.9

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 4$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x + 4) (x^{2} + 16))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.5.10

Appliquez la règle de produit à $(x + 4) (x^{2} + 16)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.6

Annulez le facteur commun à $x^{2} + 16$ et ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

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Étape 2.1.2.10.6.1

Factorisez $x^{2} + 16$ à partir de $1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)$ .

$- \frac{(x^{2} + 16) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4))}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.10.6.2.1

Factorisez $x^{2} + 16$ à partir de ${(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 16) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4))}{(x^{2} + 16) ({(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Étape 2.1.2.10.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(x^{2} + 16) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4))}{(x^{2} + 16) ({(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Étape 2.1.2.10.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4)}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.7

Annulez le facteur commun à $x + 4$ et ${(x + 4)}^{4}$ .

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Étape 2.1.2.10.7.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4)$ .

$- \frac{(x + 4) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4))}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.10.7.2.1

Factorisez $x + 4$ à partir de ${(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$- \frac{(x + 4) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Étape 2.1.2.10.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(x + 4) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Étape 2.1.2.10.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.8

Annulez le facteur commun à $x - 4$ et ${(x - 4)}^{4}$ .

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Étape 2.1.2.10.8.1

Factorisez $x - 4$ à partir de $(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4)$ .

$- \frac{(x - 4) (1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Étape 2.1.2.10.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.10.8.2.1

Factorisez $x - 4$ à partir de ${(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$- \frac{(x - 4) (1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Étape 2.1.2.10.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(x - 4) (1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Étape 2.1.2.10.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.1.2.10.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- (5 x^{4}) - 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.1.2.10.10

Réécrivez $- 768$ comme $- 1 (768)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- (5 x^{4}) - 1 (768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.1.2.10.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{4}) - 1 (768)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- (5 x^{4} + 768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.1.2.10.12

Réécrivez $- (5 x^{4} + 768)$ comme $- 1 (5 x^{4} + 768)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 1 (5 x^{4} + 768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.1.2.10.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.1.2.10.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.1.2.10.15

Multipliez $\frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ par $1$ .

$\frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.1.2.10.16

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$

Étape 2.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1024 x^{2} (5 x^{4} + 768) = 0$

Étape 2.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 x^{4} + 768 = 0$

Étape 2.2.3.2

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.2.3.2.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.2.3.2.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.3.2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.2.3.2.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.3.3

Définissez $5 x^{4} + 768$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.1

Définissez $5 x^{4} + 768$ égal à $0$ .

$5 x^{4} + 768 = 0$

Étape 2.2.3.3.2

Résolvez $5 x^{4} + 768 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.2.1

Soustrayez $768$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{4} = - 768$

Étape 2.2.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x^{4} = - 768$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x^{4} = - 768$ par $5$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{- 768}{5}$

Étape 2.2.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{- 768}{5}$

Étape 2.2.3.3.2.2.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} = \frac{- 768}{5}$

Étape 2.2.3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{4} = - \frac{768}{5}$

Étape 2.2.3.3.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Étape 2.2.3.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Étape 2.2.3.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Étape 2.2.3.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}, - \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Étape 2.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $1024 x^{2} (5 x^{4} + 768) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}, - \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Étape 2.2.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ vrai.

$x = 0$

Étape 3

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$ .

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{4} - 256 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $256$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{4} = 256$

Étape 3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{256}$

Étape 3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{256}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Réécrivez $256$ comme $4^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{4^{4}}$

Étape 3.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 4, - 4}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 4, - 4}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} (5 {(- 6)}^{4} + 768)}{{((- 6) + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {((- 6) - 4)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} (5 \cdot 1296 + 768)}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $5$ par $1296$ .

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} (6480 + 768)}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Étape 5.2.1.3

Additionnez $6480$ et $768$ .

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} \cdot 7248}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $7248$ par $1024$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 {(- 6)}^{2}}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Étape 5.2.1.5

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 6$ et $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} {(36 + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $36$ et $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} \cdot (52^{3} {(- 6 - 4)}^{3})}$

Étape 5.2.2.4

Soustrayez $4$ de $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} \cdot (52^{3} {(- 10)}^{3})}$

Étape 5.2.2.5

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 8 \cdot (52^{3} {(- 10)}^{3})}$

Étape 5.2.2.6

Élevez $52$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 8 \cdot (140608 {(- 10)}^{3})}$

Étape 5.2.2.7

Élevez $- 10$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 8 \cdot 140608 \cdot - 1000}$

Étape 5.2.2.8

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.8.1

Multipliez $- 8$ par $140608$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 1124864 \cdot - 1000}$

Étape 5.2.2.8.2

Multipliez $- 1124864$ par $- 1000$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1124864000}$

Étape 5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez $7421952$ par $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{267190272}{1124864000}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun à $267190272$ et $1124864000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $4096$ à partir de $267190272$ .

$f'' (- 6) = \frac{4096 (65232)}{1124864000}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.2.1

Factorisez $4096$ à partir de $1124864000$ .

$f'' (- 6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Étape 5.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Étape 5.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 6) = \frac{65232}{274625}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $\frac{65232}{274625}$ .

$\frac{65232}{274625}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 4)$ car $f'' (- 6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 4)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 4, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} (5 {(- 2)}^{4} + 768)}{{((- 2) + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {((- 2) - 4)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} (5 \cdot 16 + 768)}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $5$ par $16$ .

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} (80 + 768)}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $80$ et $768$ .

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} \cdot 848}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $848$ par $1024$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 {(- 2)}^{2}}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Étape 6.2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} {(4 + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} \cdot (20^{3} {(- 2 - 4)}^{3})}$

Étape 6.2.2.4

Soustrayez $4$ de $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} \cdot (20^{3} {(- 6)}^{3})}$

Étape 6.2.2.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{8 \cdot (20^{3} {(- 6)}^{3})}$

Étape 6.2.2.6

Élevez $20$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{8 \cdot (8000 {(- 6)}^{3})}$

Étape 6.2.2.7

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{8 \cdot 8000 \cdot - 216}$

Étape 6.2.2.8

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.8.1

Multipliez $8$ par $8000$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{64000 \cdot - 216}$

Étape 6.2.2.8.2

Multipliez $64000$ par $- 216$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{- 13824000}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Multipliez $868352$ par $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{3473408}{- 13824000}$

Étape 6.2.3.2

Annulez le facteur commun à $3473408$ et $- 13824000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $4096$ à partir de $3473408$ .

$f'' (- 2) = \frac{4096 (848)}{- 13824000}$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.2.1

Factorisez $4096$ à partir de $- 13824000$ .

$f'' (- 2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Étape 6.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Étape 6.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 2) = \frac{848}{- 3375}$

Étape 6.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 2) = - \frac{848}{3375}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- \frac{848}{3375}$ .

$- \frac{848}{3375}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 4, 0)$ car $f'' (- 2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 4, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 4)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = \frac{1024 {(2)}^{2} (5 {(2)}^{4} + 768)}{{((2) + 4)}^{3} {({(2)}^{2} + 16)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Réécrivez $1024$ comme $2^{10}$ .

$f'' (2) = \frac{2^{10} \cdot (2^{2} (5 \cdot 2^{4} + 768))}{{(2 + 4)}^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (2) = \frac{2^{10 + 2} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{{(2 + 4)}^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Étape 7.2.1.3

Additionnez $10$ et $2$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{{(2 + 4)}^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Additionnez $2$ et $4$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} {(4 + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} \cdot (20^{3} {(2 - 4)}^{3})}$

Étape 7.2.2.4

Soustrayez $4$ de $2$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} \cdot (20^{3} {(- 2)}^{3})}$

Étape 7.2.2.5

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{216 \cdot (20^{3} {(- 2)}^{3})}$

Étape 7.2.2.6

Élevez $20$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{216 \cdot (8000 {(- 2)}^{3})}$

Étape 7.2.2.7

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{216 \cdot 8000 \cdot - 8}$

Étape 7.2.2.8

Associez les exposants.

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Étape 7.2.2.8.1

Multipliez $216$ par $8000$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{1728000 \cdot - 8}$

Étape 7.2.2.8.2

Multipliez $1728000$ par $- 8$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{- 13824000}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 16 + 768)}{- 13824000}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $5$ par $16$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (80 + 768)}{- 13824000}$

Étape 7.2.3.3

Additionnez $80$ et $768$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} \cdot 848}{- 13824000}$

Étape 7.2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $12$ .

$f'' (2) = \frac{4096 \cdot 848}{- 13824000}$

Étape 7.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.4.1

Multipliez $4096$ par $848$ .

$f'' (2) = \frac{3473408}{- 13824000}$

Étape 7.2.4.2

Annulez le facteur commun à $3473408$ et $- 13824000$ .

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Étape 7.2.4.2.1

Factorisez $4096$ à partir de $3473408$ .

$f'' (2) = \frac{4096 (848)}{- 13824000}$

Étape 7.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.4.2.2.1

Factorisez $4096$ à partir de $- 13824000$ .

$f'' (2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Étape 7.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Étape 7.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (2) = \frac{848}{- 3375}$

Étape 7.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (2) = - \frac{848}{3375}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $- \frac{848}{3375}$ .

$- \frac{848}{3375}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, 4)$ car $f'' (2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, 4)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = \frac{1024 {(6)}^{2} (5 {(6)}^{4} + 768)}{{((6) + 4)}^{3} {({(6)}^{2} + 16)}^{3} {((6) - 4)}^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$f'' (6) = \frac{1024 \cdot (6^{2} (5 \cdot 1296 + 768))}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $5$ par $1296$ .

$f'' (6) = \frac{1024 \cdot (6^{2} (6480 + 768))}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Étape 8.2.1.3

Additionnez $6480$ et $768$ .

$f'' (6) = \frac{1024 \cdot 6^{2} \cdot 7248}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $7248$ par $1024$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 6^{2}}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Étape 8.2.1.5

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $6$ et $4$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Étape 8.2.2.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} {(36 + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Étape 8.2.2.3

Additionnez $36$ et $16$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} \cdot (52^{3} {(6 - 4)}^{3})}$

Étape 8.2.2.4

Soustrayez $4$ de $6$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} \cdot 52^{3} \cdot 2^{3}}$

Étape 8.2.2.5

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1000 \cdot 52^{3} \cdot 2^{3}}$

Étape 8.2.2.6

Élevez $52$ à la puissance $3$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1000 \cdot 140608 \cdot 2^{3}}$

Étape 8.2.2.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1000 \cdot 140608 \cdot 8}$

Étape 8.2.2.8

Associez les exposants.

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Étape 8.2.2.8.1

Multipliez $1000$ par $140608$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{140608000 \cdot 8}$

Étape 8.2.2.8.2

Multipliez $140608000$ par $8$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1124864000}$

Étape 8.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Multipliez $7421952$ par $36$ .

$f'' (6) = \frac{267190272}{1124864000}$

Étape 8.2.3.2

Annulez le facteur commun à $267190272$ et $1124864000$ .

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Étape 8.2.3.2.1

Factorisez $4096$ à partir de $267190272$ .

$f'' (6) = \frac{4096 (65232)}{1124864000}$

Étape 8.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.2.2.1

Factorisez $4096$ à partir de $1124864000$ .

$f'' (6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Étape 8.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Étape 8.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (6) = \frac{65232}{274625}$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $\frac{65232}{274625}$ .

$\frac{65232}{274625}$

Étape 8.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(4, \infty)$ car $f'' (6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 4)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 4, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le bas sur $(0, 4)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(4, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 10