Calcul infinitésimal Exemples

$- x^{5} + 15 x^{4} - 60 x^{3} + 648$

Étape 1

Écrivez $- x^{5} + 15 x^{4} - 60 x^{3} + 648$ comme une fonction.

$f (x) = - x^{5} + 15 x^{4} - 60 x^{3} + 648$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{5} + 15 x^{4} - 60 x^{3} + 648$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [648]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [648]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [648]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [648]$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [648]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{4}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [648]$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 5 x^{4} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [648]$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $15$ .

$- 5 x^{4} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [648]$

Étape 2.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 60 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Comme $- 60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 60 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} + 60 x^{3} - 60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [648]$

Étape 2.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 5 x^{4} + 60 x^{3} - 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [648]$

Étape 2.1.1.4.3

Multipliez $3$ par $- 60$ .

$- 5 x^{4} + 60 x^{3} - 180 x^{2} + \frac{d}{d x} [648]$

Étape 2.1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.1.5.1

Comme $648$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $648$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 x^{4} + 60 x^{3} - 180 x^{2} + 0$

Étape 2.1.1.5.2

Additionnez $- 5 x^{4} + 60 x^{3} - 180 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = - 5 x^{4} + 60 x^{3} - 180 x^{2}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 x^{4} + 60 x^{3} - 180 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $60 x^{3}$ par rapport à $x$ est $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 20 x^{3} + 60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 20 x^{3} + 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $3$ par $60$ .

$- 20 x^{3} + 180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$

Étape 2.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Comme $- 180$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 180 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 20 x^{3} + 180 x^{2} - 180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 20 x^{3} + 180 x^{2} - 180 (2 x)$

Étape 2.1.2.4.3

Multipliez $2$ par $- 180$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 180 x^{2} - 360 x$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 20 x^{3} + 180 x^{2} - 360 x$ .

$- 20 x^{3} + 180 x^{2} - 360 x$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 20 x^{3} + 180 x^{2} - 360 x = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 20 x^{3} + 180 x^{2} - 360 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $- 20 x$ à partir de $- 20 x^{3} + 180 x^{2} - 360 x$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $- 20 x$ à partir de $- 20 x^{3}$ .

$- 20 x \cdot x^{2} + 180 x^{2} - 360 x = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez $- 20 x$ à partir de $180 x^{2}$ .

$- 20 x \cdot x^{2} - 20 x (- 9 x) - 360 x = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $- 20 x$ à partir de $- 360 x$ .

$- 20 x \cdot x^{2} - 20 x (- 9 x) - 20 x \cdot 18 = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez $- 20 x$ à partir de $- 20 x (x^{2}) - 20 x (- 9 x)$ .

$- 20 x (x^{2} - 9 x) - 20 x \cdot 18 = 0$

Étape 2.2.2.1.5

Factorisez $- 20 x$ à partir de $- 20 x (x^{2} - 9 x) - 20 x (18)$ .

$- 20 x (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 9 x + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 6, - 3$

Étape 2.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 20 x ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 20 x (x - 6) (x - 3) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.5

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 2.2.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 2.2.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.2.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 20 x (x - 6) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 6, 3$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = - 20 {(- 2)}^{3} + 180 {(- 2)}^{2} - 360 \cdot - 2$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = - 20 \cdot - 8 + 180 {(- 2)}^{2} - 360 \cdot - 2$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $- 8$ .

$f'' (- 2) = 160 + 180 {(- 2)}^{2} - 360 \cdot - 2$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = 160 + 180 \cdot 4 - 360 \cdot - 2$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $180$ par $4$ .

$f'' (- 2) = 160 + 720 - 360 \cdot - 2$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 360$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = 160 + 720 + 720$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $160$ et $720$ .

$f'' (- 2) = 880 + 720$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $880$ et $720$ .

$f'' (- 2) = 1600$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $1600$ .

$1600$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ car $f'' (- 2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = - 20 {(2)}^{3} + 180 {(2)}^{2} - 360 \cdot 2$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = - 20 \cdot 8 + 180 {(2)}^{2} - 360 \cdot 2$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $8$ .

$f'' (2) = - 160 + 180 {(2)}^{2} - 360 \cdot 2$

Étape 6.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = - 160 + 180 \cdot 4 - 360 \cdot 2$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $180$ par $4$ .

$f'' (2) = - 160 + 720 - 360 \cdot 2$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 360$ par $2$ .

$f'' (2) = - 160 + 720 - 720$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 160$ et $720$ .

$f'' (2) = 560 - 720$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $720$ de $560$ .

$f'' (2) = - 160$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 160$ .

$- 160$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, 3)$ car $f'' (2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(3, 6)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = - 20 {(4)}^{3} + 180 {(4)}^{2} - 360 \cdot 4$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = - 20 \cdot 64 + 180 {(4)}^{2} - 360 \cdot 4$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $64$ .

$f'' (4) = - 1280 + 180 {(4)}^{2} - 360 \cdot 4$

Étape 7.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = - 1280 + 180 \cdot 16 - 360 \cdot 4$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $180$ par $16$ .

$f'' (4) = - 1280 + 2880 - 360 \cdot 4$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $- 360$ par $4$ .

$f'' (4) = - 1280 + 2880 - 1440$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 1280$ et $2880$ .

$f'' (4) = 1600 - 1440$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $1440$ de $1600$ .

$f'' (4) = 160$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $160$ .

$160$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(3, 6)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(3, 6)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f'' (8) = - 20 {(8)}^{3} + 180 {(8)}^{2} - 360 \cdot 8$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f'' (8) = - 20 \cdot 512 + 180 {(8)}^{2} - 360 \cdot 8$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 20$ par $512$ .

$f'' (8) = - 10240 + 180 {(8)}^{2} - 360 \cdot 8$

Étape 8.2.1.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f'' (8) = - 10240 + 180 \cdot 64 - 360 \cdot 8$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $180$ par $64$ .

$f'' (8) = - 10240 + 11520 - 360 \cdot 8$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $- 360$ par $8$ .

$f'' (8) = - 10240 + 11520 - 2880$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $- 10240$ et $11520$ .

$f'' (8) = 1280 - 2880$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $2880$ de $1280$ .

$f'' (8) = - 1600$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 1600$ .

$- 1600$

Étape 8.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(6, \infty)$ car $f'' (8)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(6, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 9

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(0, 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(3, 6)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(6, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 10