Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 1

Écrivez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.1.1.2.2

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Étape 2.1.1.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.1.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Étape 2.1.1.2.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Étape 2.1.1.2.4.3

Associez $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Étape 2.1.1.2.4.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.1.1.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Étape 2.1.1.2.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Étape 2.1.1.2.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.2.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Étape 2.1.1.2.4.4.2.4

Divisez $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ par $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Étape 2.1.1.2.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$f' (x) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$- (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4

Différenciez.

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Étape 2.1.2.4.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.4.2.1

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$- (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.4

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.4.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$- (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.4.4.3

Associez $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ et $x$ .

$- (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.8.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.1.2.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.8.2.2.4

Divisez $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ par $1$ .

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1)$

Étape 2.1.2.10

Multipliez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ par $1$ .

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}})$

Étape 2.1.2.11

Simplifiez

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Étape 2.1.2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2.1.2.11.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.2.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2.1.2.11.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2.1.2.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2.1.2.11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ à partir de $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ à partir de $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ à partir de $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot - 1 = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ à partir de $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot - 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Étape 2.2.4.2

Résolvez $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{2}}) = \ln (0)$

Étape 2.2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 2.2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.2.6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.2.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{2} e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = 16 e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = 16 e^{- \frac{16}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2.1.3

Divisez $16$ par $2$ .

$f'' (- 4) = 16 e^{- 1 \cdot 8} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (- 4) = 16 e^{- 8} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = 16 (\frac{1}{e^{8}}) - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2.1.6

Associez $16$ et $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Étape 5.2.1.7

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{16}{2}}$

Étape 5.2.1.8

Divisez $16$ par $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 1 \cdot 8}$

Étape 5.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 8}$

Étape 5.2.1.10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - \frac{1}{e^{8}}$

Étape 5.2.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 4) = \frac{16 - 1}{e^{8}}$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{15}{e^{8}}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $\frac{15}{e^{8}}$ .

$\frac{15}{e^{8}}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 1)$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 1, 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = {(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{0}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2.1.3

Divisez $0$ par $2$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Étape 6.2.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 - e^{- \frac{0}{2}}$

Étape 6.2.1.8

Divisez $0$ par $2$ .

$f'' (0) = 0 - e^{- 0}$

Étape 6.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - e^{0}$

Étape 6.2.1.10

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 6.2.1.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 - 1$

Étape 6.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - 1$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 1, 1)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 1, 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = {(4)}^{2} e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = 16 e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = 16 e^{- \frac{16}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.1.3

Divisez $16$ par $2$ .

$f'' (4) = 16 e^{- 1 \cdot 8} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (4) = 16 e^{- 8} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = 16 (\frac{1}{e^{8}}) - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.1.6

Associez $16$ et $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Étape 7.2.1.7

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{16}{2}}$

Étape 7.2.1.8

Divisez $16$ par $2$ .

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 1 \cdot 8}$

Étape 7.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 8}$

Étape 7.2.1.10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - \frac{1}{e^{8}}$

Étape 7.2.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (4) = \frac{16 - 1}{e^{8}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$f'' (4) = \frac{15}{e^{8}}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $\frac{15}{e^{8}}$ .

$\frac{15}{e^{8}}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(1, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 1, 1)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(1, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9