Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{- 3 x}$

Étape 1

Écrivez $x e^{- 3 x}$ comme une fonction.

$f (x) = x e^{- 3 x}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 3 x$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 x$ .

$x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1.3.3.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.3.3.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $e^{- 3 x}$ .

$x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Étape 2.1.1.3.5

Multipliez $e^{- 3 x}$ par $1$ .

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}$

Étape 2.1.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

Étape 2.1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x e^{- 3 x}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 3 x$ .

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Étape 2.1.2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 3 x$ .

$- 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 3 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 3 x$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.2.2.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.2.2.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.2.2.8

Déplacez $- 3$ à gauche de $e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.2.2.9

Multipliez $e^{- 3 x}$ par $1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 3 x$ .

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Étape 2.1.2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 3 x$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.1.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.1.2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 3 x$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.1.2.3.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)$

Étape 2.1.2.3.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot - 3$

Étape 2.1.2.3.5

Déplacez $- 3$ à gauche de $e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) - 3 e^{- 3 x}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez

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Étape 2.1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

Étape 2.1.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.2.4.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$9 (x (e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

Étape 2.1.2.4.2.2

Soustrayez $3 e^{- 3 x}$ de $- 3 e^{- 3 x}$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Étape 2.1.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$

Étape 2.1.2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $3 e^{- 3 x}$ à partir de $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $3 e^{- 3 x}$ à partir de $9 x e^{- 3 x}$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x) - 6 e^{- 3 x} = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $3 e^{- 3 x}$ à partir de $- 6 e^{- 3 x}$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2) = 0$

Étape 2.2.2.3

Factorisez $3 e^{- 3 x}$ à partir de $3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2)$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

$3 x - 2 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $e^{- 3 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $e^{- 3 x}$ égal à $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

Étape 2.2.4.2

Résolvez $e^{- 3 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Étape 2.2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 3 x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.2.5

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 2.2.5.2

Résolvez $3 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 2.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 2.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 2.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{2}{3}$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \frac{2}{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 9 (0) \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $9$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Étape 5.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6 e^{0}$

Étape 5.2.1.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 1$

Étape 5.2.1.7

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Étape 5.2.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, \frac{2}{3})$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, \frac{2}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\frac{2}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = 9 (3) \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 9} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Étape 6.2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = 27 \cdot \frac{1}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Étape 6.2.1.4

Associez $27$ et $\frac{1}{e^{9}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 9}$

Étape 6.2.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 \frac{1}{e^{9}}$

Étape 6.2.1.7

Associez $- 6$ et $\frac{1}{e^{9}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} + \frac{- 6}{e^{9}}$

Étape 6.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - \frac{6}{e^{9}}$

Étape 6.2.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (3) = \frac{27 - 6}{e^{9}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $6$ de $27$ .

$f'' (3) = \frac{21}{e^{9}}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{21}{e^{9}}$ .

$\frac{21}{e^{9}}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(\frac{2}{3}, \infty)$ car $f'' (3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(\frac{2}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, \frac{2}{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(\frac{2}{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8